2016-09-17
Цилиндр радиусом $R$ и массой $m$ плотно вставлен в жёстко закреплённое кольцо. Ось цилиндра вертикальна. Чтобы его продвинуть, надо приложить в вертикальном направлении силу, не меньшую $F {F \gg ng)$. Цилиндр начинают вращать с постоянной угловой скоростью $\omega$, не прикладывая при этом вертикальной силы. Найдите требующийся для этого момент силы и скорость вертикального перемещения цилиндра. Трение цилиндра о кольцо является сухим.
Решение:
Из условия понятно, что сила трения скольжения цилиндра по кольцу равна $F$. Предположим, что цилиндр при повороте на угол $\Delta \alpha$ смещается вниз на расстояние $\Delta y$. Тогда сила трения, действующая против направления движения, может быть разложена на две ортогональные составляющие: вертикальную, направленную вверх, и горизонтальную, направленную противоположно направлению вращения. Они соответственно равны
$F_{верт} = F \frac{ \Delta y}{ \sqrt{(R \Delta \alpha)^{2} + ( \Delta y)^{2}}} = F \frac{v_{верт}}{ \sqrt{ (R \omega)^{2} + (v_{верт})^{2}}}$
и
$F_{гор} = F \frac{ R \Delta \alpha}{ \sqrt{(R \Delta \alpha)^{2} + ( \Delta y)^{2}}} = F \frac{R \omega}{ \sqrt{ (R \omega)^{2} + (v_{верт})^{2}}}$,
где $v_{верт}$ — вертикальная составляющая скорости цилиндра. Вертикальная составляющая силы трения должна быть меньше силы тяжести или равна ей:
$F_{верт} = F \frac{v_{верт}}{ \sqrt{ (R \omega)^{2}} + (v_{верт})^{2}} \leq mg$.
Отсюда
$v_{верт} \leq \frac{mgR \omega}{ \sqrt{ F^{2} - (mg)^{2}}} \approx \frac{mgR \omega}{F}$.
поскольку по условию $F \gg mg$. По истечении некоторого времени скорость установится и станет равной $v_{верт} \approx mgR \omega/F$.
Найдём теперь момент силы, необходимый для вращения. Поскольку цилиндр вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$, то момент горизонтальной составляющей силы трения должен быть равен искомому моменту:
$M = F_{гор}R = F \frac{R \omega}{ \sqrt{ (R \omega)^{2} + (v_{верт})^{2}}} \cdot R \approx \frac{FR \cdot R \omega}{ \sqrt{ (R \omega)^{2} + \frac{(mgR \omega)^{2}}{F^{2}}}} \approx \frac{FR}{ \sqrt{ 1 + (mg/F)^{2}}} \approx FR$.