Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9497
2018-10-18 
В сосуде с водой (см. рис.) имеется толстая вертикальная деревянная перегородка высотой $h = 40 см$, делящая его на две равные части и способная свободно перемещаться вверх-вниз по сделанным на боковых стенках специальным направляющим. В правую часть сосуда медленно наливают керосин. а) Найти максимальную высоту слоя керосина в правой части сосуда, при которой он ещё не начинает перетекать в левую часть. б) На какую высоту относительно своего первоначального положения поднимется перегородка в этом случае? Плотности дерева, керосина и воды равны $600 кг/м^{3}, 800 кг/м^{3}$ и $1000 кг/м^{3}$ соответственно. Площадь основания перегородки составляет четверть площади дна сосуда.
Решение:
Сначала найдём глубину $h_{B}$, на которую погружена в воду перегородка (см. рис. а). Это можно сделать, приравняв величину выталкивающей силы и величину силы тяжести, действующих на перегородку $F_{т} = F_{A}$:
$m_{п} g = \rho_{В} g V_{погр} \Rightarrow \rho_{д} S_{п} h = \rho_{B} S_{п} h_{В}$,
где $m_{п}$ и $S_{п} = S/4$ - масса и площадь основания перегородки. Выражая $h_{B}$, получим, что
$h_{B} = \frac{ \rho_{}h }{ \rho_{B} } = 24 см$.
Если в правую часть сосуда наливать керосин, то перегородка начнёт двигаться вверх, при этом оставаясь на плаву.
С другой стороны, две части, разделённые перегородкой, представляют собой сообщающиеся сосуды, поэтому давления жидкостей на уровне нижнего края перегородки слева и справа будут одинаковыми и совпадать с давлением, производимым перегородкой на воду (система находится в равновесии). Исходя из этого, найдём максимальную высоту слоя керосина. Пусть керосин полностью заполнил пространство до нижнего края перегородки (см. рис. b), тогда
$\frac{m_{п}g }{S_{п} } = \rho_{K}gh_{K} \Rightarrow \rho_{д}gh = \rho_{K}gh_{K} \Rightarrow h_{K} = \frac{ \rho_{д}h }{ \rho_{K} } = 30 см$.
Записывая аналогичное равенство для давлений перегородки и воды, получаем mSnG = pBghB ^ pдgh = pBghB ^ hB = рдН = hB,
$\frac{m_{п}g }{S_{п} } = \rho_{K}gh_{B}^{ \prime} \Rightarrow \rho_{д}gh = \rho_{B}gh_{B}^{ \prime} \Rightarrow h_{B}^{ \prime} = \frac{ \rho_{д}h }{ \rho_{B} } = h_{B} $.
то есть расстояние между поверхностью воды в левой части сосуда и нижним краем в процессе перемещений перегородки не изменяется.
Чтобы ответить на второй вопрос задачи, найдём объём воды в сосуде до и после доливания керосина и приравняем их, учитывая, что площади поперечного сечения частей сосуда слева и справа от перегородки равны $3S/8$ ($S$ - общая площадь дна сосуда, $x$ - искомая высота, на которую поднялась перегородка, $V_{0}$ - объём воды, первоначально находящейся под перегородкой):
$V_{до} = \frac{3}{4} Sh_{B} + V_{0}, V_{после} = Sx + \frac{3}{8}Sh_{B} + V_{0}$,
$\frac{3}{4} Sh_{B} = Sx + \frac{3}{8} Sh_{B} \Rightarrow x = \frac{3h_{B} }{8} = 9 см$.
В сосуде с водой (см. рис.) имеется толстая вертикальная деревянная перегородка высотой $h = 40 см$, делящая его на две равные части и способная свободно перемещаться вверх-вниз по сделанным на боковых стенках специальным направляющим. В правую часть сосуда медленно наливают керосин. а) Найти максимальную высоту слоя керосина в правой части сосуда, при которой он ещё не начинает перетекать в левую часть. б) На какую высоту относительно своего первоначального положения поднимется перегородка в этом случае? Плотности дерева, керосина и воды равны $600 кг/м^{3}, 800 кг/м^{3}$ и $1000 кг/м^{3}$ соответственно. Площадь основания перегородки составляет четверть площади дна сосуда.
Решение:
Сначала найдём глубину $h_{B}$, на которую погружена в воду перегородка (см. рис. а). Это можно сделать, приравняв величину выталкивающей силы и величину силы тяжести, действующих на перегородку $F_{т} = F_{A}$:
$m_{п} g = \rho_{В} g V_{погр} \Rightarrow \rho_{д} S_{п} h = \rho_{B} S_{п} h_{В}$,
где $m_{п}$ и $S_{п} = S/4$ - масса и площадь основания перегородки. Выражая $h_{B}$, получим, что
$h_{B} = \frac{ \rho_{}h }{ \rho_{B} } = 24 см$.
Если в правую часть сосуда наливать керосин, то перегородка начнёт двигаться вверх, при этом оставаясь на плаву.
С другой стороны, две части, разделённые перегородкой, представляют собой сообщающиеся сосуды, поэтому давления жидкостей на уровне нижнего края перегородки слева и справа будут одинаковыми и совпадать с давлением, производимым перегородкой на воду (система находится в равновесии). Исходя из этого, найдём максимальную высоту слоя керосина. Пусть керосин полностью заполнил пространство до нижнего края перегородки (см. рис. b), тогда
$\frac{m_{п}g }{S_{п} } = \rho_{K}gh_{K} \Rightarrow \rho_{д}gh = \rho_{K}gh_{K} \Rightarrow h_{K} = \frac{ \rho_{д}h }{ \rho_{K} } = 30 см$.
Записывая аналогичное равенство для давлений перегородки и воды, получаем mSnG = pBghB ^ pдgh = pBghB ^ hB = рдН = hB,
$\frac{m_{п}g }{S_{п} } = \rho_{K}gh_{B}^{ \prime} \Rightarrow \rho_{д}gh = \rho_{B}gh_{B}^{ \prime} \Rightarrow h_{B}^{ \prime} = \frac{ \rho_{д}h }{ \rho_{B} } = h_{B} $.
то есть расстояние между поверхностью воды в левой части сосуда и нижним краем в процессе перемещений перегородки не изменяется.
Чтобы ответить на второй вопрос задачи, найдём объём воды в сосуде до и после доливания керосина и приравняем их, учитывая, что площади поперечного сечения частей сосуда слева и справа от перегородки равны $3S/8$ ($S$ - общая площадь дна сосуда, $x$ - искомая высота, на которую поднялась перегородка, $V_{0}$ - объём воды, первоначально находящейся под перегородкой):
$V_{до} = \frac{3}{4} Sh_{B} + V_{0}, V_{после} = Sx + \frac{3}{8}Sh_{B} + V_{0}$,
$\frac{3}{4} Sh_{B} = Sx + \frac{3}{8} Sh_{B} \Rightarrow x = \frac{3h_{B} }{8} = 9 см$.
