2016-09-17
Автомобиль с передними ведущими колёсами должен проехать по достаточно длинному прямолинейному участку шоссе, поднимающемуся вверх под углом $\alpha$ к горизонту. Центр масс автомобиля находится на расстоянии $H$ от полотна дороги, посередине между осями передних и задних колёс, которые расположены на расстоянии $2L$ друг от друга. Коэффициент трения колёс о дорогу равен $\mu$, радиус колёс $R$. Найдите максимальную величину угла $\alpha$. Укажите условия, при которых автомобиль массой $m$ сможет преодолеть этот участок шоссе.
Решение:
Так как движущийся автомобиль не переворачивается, то величины $N_{н}$ и $N_{в}$ нормальных составляющих сил реакции дороги, приложенных к нижним и к
верхним колёсам, удовлетворяют следующим уравнениям для моментов сил:
$N_{н} \cdot 2L = mg(L \cos \alpha + H \sin \alpha)$,
$N_{в} \cdot 2L = mg(L \cos \alpha - H \sin \alpha)$.
Здесь первое уравнение записано относительно оси, проходящей через точки касания дороги верхними колёсами, а второе — относительно оси, проходящей через точки касания дороги нижними колёсами. Из этих уравнений видно, что вне зависимости от того, какие колёса являются ведущими, $N_{н} > N_{в}$.
Автомобиль движется в гору под действием силы тяги, которая представляет собой тангенциальную составляющую сил реакции дороги, действующих на ведущие колёса. Эта сила не может превышать величину силы трения покоя, равную $\mu N_{i}$, где $N_{i}$ — сила реакции, действующая либо на нижние, либо на верхние колёса — в зависимости от того, какие из них являются ведущими. При движении автомобиля в гору с очень малой скоростью сила тяги должна быть равна «скатывающей» силе:$\mu N_{i} = mg \sin \alpha$, то есть автомобиль может преодолеть участок дороги с тем большим углом наклона, чем больше нормальная сила реакции, действующая на его ведущие колёса. Следовательно, автомобиль должен ехать в гору так, чтобы его ведущие колёса находились снизу, то есть автомобилю с передними ведущими
колёсами выгоднее въезжать на поднимающийся участок дороги задним ходом. При этом $\mu N_{н} = mg \sin \alpha$, откуда, с учётом выражения для $N_{н}$, получаем:
$\alpha = arctg \frac{ \mu L}{2L - \mu H}$.
Для того чтобы автомобиль не перевернулся, ещё должно выполняться дополнительное условие $N_{в} > 0$, или $tg \alpha < L/H$. С учётом полученного выражения для $\alpha$, это условие можно переписать в виде: $\mu < L/H$. Так как $\mu < 1$, а для реальных автомобилей $L/H \gg 1$, то полученное условие практически всегда выполняется.
Кроме того, на ведущих колёсах автомобиля должен создаваться крутящий момент
$M = \mu N_{н}R = mg R \sin \alpha = \frac{ \mu mgRL}{ \sqrt{ (2L - \mu H)^{2} + ( \mu L)^{2}}}$.
При этом мощность двигателя может быть любой, так как в условии задачи нет никаких ограничений на минимальную скорость движения автомобиля (он может въезжать в гору и очень медленно).