Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9487
2018-10-16 
Мыльный пузырь выдут через цилиндрическую трубку с внутренним радиусом $r = 1 мм$ и длиной $l = 10 см$. В тот момент, когда радиус пузыря достиг значения $R_{0} = 10 см$, перестали дуть. Воздух из пузыря начал выходить через трубку. Через какое время $t$ пузырь исчезнет? Поверхностное натяжение мыльной воды $\sigma = 50 мН/м$, вязкость воздуха $\eta = 18 \cdot 10^{-6} Па \cdot с$.
Решение:
У мыльной пленки две поверхности, поэтому избыточное давление в пузыре радиусом $R$ равно $\Delta p = 4 \sigma/R$. Когда дуть в трубку перестают, на концах трубки возникает разность давлений $\Delta p$ и воздух начинает выходить из пузыря. Объемный расход воздуха $dV/dt$ при протекании его через трубку длины $l$ при разности давлений на концах трубки $\Delta p$ определяется формулой Пуазеиля: $\frac{dV}{dt} = \frac{ \pi r^{4} \Delta p }{8 \eta l}$. Объем протекшего через трубку воздуха равен уменьшению объема пузыря: $dV = - dV_{пуз} = - 4 \pi R^{2} dR$. Получаем дифференциальное уравнение, связывающее изменение радиуса пузыря со временем:
$- 4 \pi R^{2} dR = \frac{ \pi r^{4} }{8 \eta l} \frac{4 \sigma}{R}$, или $4R^{3}dR = - \frac{r^{4} \sigma }{2 \eta l} dt$.
Интегрируем это уравнение (по радиусу - в пределах от $R_{0}$ до $R$, по времени - от нуля до $t$) и получаем: $R^{4} - R_{0}^{4} = - \frac{r^{4} \sigma t }{2 \eta l}$, или $R(t) = \left ( R_{0}^{4} - \frac{r^{4} \sigma t }{2 \eta l} \right )^{1/4}$. Пузырь исчезнет (его радиус станет равен нулю) через время $t = \frac{2 \eta lR_{0}^{4} }{r^{4} \sigma } = 7,2 \cdot 10^{3} с = 2 часа$.
Ответ: $t = \frac{2 \eta lR_{0}^{4} }{r^{4} \sigma } = 7 \cdot 10^{3} c = 2 часа$.
Мыльный пузырь выдут через цилиндрическую трубку с внутренним радиусом $r = 1 мм$ и длиной $l = 10 см$. В тот момент, когда радиус пузыря достиг значения $R_{0} = 10 см$, перестали дуть. Воздух из пузыря начал выходить через трубку. Через какое время $t$ пузырь исчезнет? Поверхностное натяжение мыльной воды $\sigma = 50 мН/м$, вязкость воздуха $\eta = 18 \cdot 10^{-6} Па \cdot с$.
Решение:
У мыльной пленки две поверхности, поэтому избыточное давление в пузыре радиусом $R$ равно $\Delta p = 4 \sigma/R$. Когда дуть в трубку перестают, на концах трубки возникает разность давлений $\Delta p$ и воздух начинает выходить из пузыря. Объемный расход воздуха $dV/dt$ при протекании его через трубку длины $l$ при разности давлений на концах трубки $\Delta p$ определяется формулой Пуазеиля: $\frac{dV}{dt} = \frac{ \pi r^{4} \Delta p }{8 \eta l}$. Объем протекшего через трубку воздуха равен уменьшению объема пузыря: $dV = - dV_{пуз} = - 4 \pi R^{2} dR$. Получаем дифференциальное уравнение, связывающее изменение радиуса пузыря со временем:
$- 4 \pi R^{2} dR = \frac{ \pi r^{4} }{8 \eta l} \frac{4 \sigma}{R}$, или $4R^{3}dR = - \frac{r^{4} \sigma }{2 \eta l} dt$.
Интегрируем это уравнение (по радиусу - в пределах от $R_{0}$ до $R$, по времени - от нуля до $t$) и получаем: $R^{4} - R_{0}^{4} = - \frac{r^{4} \sigma t }{2 \eta l}$, или $R(t) = \left ( R_{0}^{4} - \frac{r^{4} \sigma t }{2 \eta l} \right )^{1/4}$. Пузырь исчезнет (его радиус станет равен нулю) через время $t = \frac{2 \eta lR_{0}^{4} }{r^{4} \sigma } = 7,2 \cdot 10^{3} с = 2 часа$.
Ответ: $t = \frac{2 \eta lR_{0}^{4} }{r^{4} \sigma } = 7 \cdot 10^{3} c = 2 часа$.
