Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9480
2018-10-16 
Пространство между двумя коаксиальными цилиндрами заполнено газом (рис.). Радиусы внутреннего и внешнего цилиндров равны соответственно $R_{1}$ и $R_{2}$, высота цилиндров $h$. Внутренний цилиндр закреплен, а внешний цилиндр вращается с угловой скоростью $\omega$. С какой скоростью v движется слой газа, находящийся на расстоянии $r (R_{1} \leq r \leq R_{2})$ от оси вращения? Найдите момент сил вязкого трения, действующих на внутренний цилиндр.
Решение:
Слой газа, прилегающий к внешнему цилиндру, благодаря вязкому трению вовлекается во вращение, так что скорость этого слоя становится равной линейной скорости точек поверхности цилиндра $v = \omega R$. Слой газа, прилегающий к внутреннему цилиндру, остается неподвижным. В пространстве между цилиндрами скорость меняется от слоя к слою. Выделим мысленно цилиндрическую поверхность радиусом $r (R_{1} \leq r \leq R_{2}$), разделяющую два слоя газа. Площадь поверхности равна $2 \pi rh$. Сила вязкого трения, действующая между этими слоями, определяется формулой Ньютона:
$F = \eta \frac{dv}{dr} 2 \pi rh$. (1)
При установившемся (стационарном) распределении скоростей суммарная сила трения, действующая на слой газа, заключенный между двумя поверхностями произвольных радиусов $r_{1}$ и $r_{2}$, равна нулю, так как скорость слоя не меняется. Это означает, что сила (1) не зависит от $r$, т. е. $r \frac{dv}{dr} = C = const$. Изменение скорости газа при изменении расстояния от оси на $dr$ равно $dv = C \frac{dr}{r}$. Интегрируя это равенство по $dr$ в пределах от $R_{1}$ до $r$, получаем:
$v(r) = \int_{R_{1} }^{r } C \frac{dr}{r} = C ln \frac{r}{R_{1} }$. (2)
Для определения константы С учтем, что $v(R_{2}) = \omega R_{2}$. С помощью (2) находим, что $C = \frac{ \omega R_{2} }{ln (R_{2} / R_{1} ) }$. Для функции распределения скорости газа от $r$ и для ее градиента окончательно имеем:
$v(r) = \frac{ \omega R_{2} ln(r/ R_{1} ) }{ln (R_{2} / R_{1} ) }; \frac{dv}{dr} = \frac{C}{r} = \frac{ \omega R_{2} }{ln (R_{2} / R_{1} ) } \frac{1}{r}$. (3)
Возвращаясь к выражению (1), находим силу вязкого трения, действующую между двумя любыми цилиндрическим поверхностями в газе, а также между газом и поверхностями цилиндров: $F = \eta \frac{ \omega R_{2} }{ln (R_{2}/ R_{1} ) } 2 \pi h$. Сила, действующая на внутренний цилиндр со стороны газа, направлена по касательной к поверхности цилиндра и создает вращающий момент $M = FR_{1}$ относительно его оси.
Ответ: $v(r) = \frac{ \omega R_{2} ln(r/ R_{1} ) }{ln (R_{2} / R_{1} ) }; M = \eta \frac{ \omega R_{2} R_{1} }{ln (R_{2}/ R_{1} ) } 2 \pi h$
Пространство между двумя коаксиальными цилиндрами заполнено газом (рис.). Радиусы внутреннего и внешнего цилиндров равны соответственно $R_{1}$ и $R_{2}$, высота цилиндров $h$. Внутренний цилиндр закреплен, а внешний цилиндр вращается с угловой скоростью $\omega$. С какой скоростью v движется слой газа, находящийся на расстоянии $r (R_{1} \leq r \leq R_{2})$ от оси вращения? Найдите момент сил вязкого трения, действующих на внутренний цилиндр.
Решение:
Слой газа, прилегающий к внешнему цилиндру, благодаря вязкому трению вовлекается во вращение, так что скорость этого слоя становится равной линейной скорости точек поверхности цилиндра $v = \omega R$. Слой газа, прилегающий к внутреннему цилиндру, остается неподвижным. В пространстве между цилиндрами скорость меняется от слоя к слою. Выделим мысленно цилиндрическую поверхность радиусом $r (R_{1} \leq r \leq R_{2}$), разделяющую два слоя газа. Площадь поверхности равна $2 \pi rh$. Сила вязкого трения, действующая между этими слоями, определяется формулой Ньютона:
$F = \eta \frac{dv}{dr} 2 \pi rh$. (1)
При установившемся (стационарном) распределении скоростей суммарная сила трения, действующая на слой газа, заключенный между двумя поверхностями произвольных радиусов $r_{1}$ и $r_{2}$, равна нулю, так как скорость слоя не меняется. Это означает, что сила (1) не зависит от $r$, т. е. $r \frac{dv}{dr} = C = const$. Изменение скорости газа при изменении расстояния от оси на $dr$ равно $dv = C \frac{dr}{r}$. Интегрируя это равенство по $dr$ в пределах от $R_{1}$ до $r$, получаем:
$v(r) = \int_{R_{1} }^{r } C \frac{dr}{r} = C ln \frac{r}{R_{1} }$. (2)
Для определения константы С учтем, что $v(R_{2}) = \omega R_{2}$. С помощью (2) находим, что $C = \frac{ \omega R_{2} }{ln (R_{2} / R_{1} ) }$. Для функции распределения скорости газа от $r$ и для ее градиента окончательно имеем:
$v(r) = \frac{ \omega R_{2} ln(r/ R_{1} ) }{ln (R_{2} / R_{1} ) }; \frac{dv}{dr} = \frac{C}{r} = \frac{ \omega R_{2} }{ln (R_{2} / R_{1} ) } \frac{1}{r}$. (3)
Возвращаясь к выражению (1), находим силу вязкого трения, действующую между двумя любыми цилиндрическим поверхностями в газе, а также между газом и поверхностями цилиндров: $F = \eta \frac{ \omega R_{2} }{ln (R_{2}/ R_{1} ) } 2 \pi h$. Сила, действующая на внутренний цилиндр со стороны газа, направлена по касательной к поверхности цилиндра и создает вращающий момент $M = FR_{1}$ относительно его оси.
Ответ: $v(r) = \frac{ \omega R_{2} ln(r/ R_{1} ) }{ln (R_{2} / R_{1} ) }; M = \eta \frac{ \omega R_{2} R_{1} }{ln (R_{2}/ R_{1} ) } 2 \pi h$
