Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 948
2016-09-17 
У двух автомобилей расстояние между осями передних и задних колёс $L = 3 метра$, а центр масс находится на высоте $H = 0,7 м$ над дорогой на одинаковом расстоянии от каждого из четырёх колёс. Коэффициент трения колёс о дорогу $\mu = 0,8$. Масса каждого из автомобилей $m = 1000 кг$. Один из автомобилей переднеприводный, а другой заднеприводный. Автомобили снабжены моторами с одинаковой мощностью $N = 100 кВт$. Какой из автомобилей победит в заезде на $S = 10 м$ по прямой при старте с нулевой начальной скоростью? На какое время победитель обгонит отставшего? Водители «выжимают» из своих автомобилей всё возможное. Считайте ускорение свободного падения $g = 10 м/с^{2}$.
Решение:
Поскольку автомобили после старта движутся с ускорениями, то давления, оказываемые на дорогу передними и задними колёсами каждого автомобиля, различны. В условии сказано, что водители «выжимают» из автомобилей всё возможное. Будем считать, что мощности двигателя у обоих автомобилей при довольно небольшой их массе достаточно для того, чтобы в начальный период разгона ведущие колёса пробуксовывали (это надо будет проверить!). Значит, сила трения $F_{тр}$, движущая автомобиль и приложенная к ведущим колёсам, равна произведению коэффициента трения $\mu$ на силу реакции, действующую со стороны дороги на пару ведущих колёс.
Запишем для каждого из автомобилей уравнение моментов относительно горизонтальной оси $O$, перпендикулярной направлению движения, находящейся над дорогой на высоте центра масс автомобиля и лежащей над осью неведущих колёс. Для переднеприводного автомобиля имеем:
$mg \frac{L}{2} = N_{1}L + \mu N_{1}H$,
а для заднеприводного:
$mg \frac{L}{2} + \mu N_{2}H = N_{2}L$.
Здесь $N_{1}$ и $N_{2}$ — силы реакции, действующие на передние и задние колёса соответственно. Отсюда для переднеприводного автомобиля $N_{1} = \frac{mgL}{2(L+ \mu H)}$, а для заднеприводного $N_{2} = \frac{mgL}{2(L - \mu H)}$.
Ускорения переднеприводного автомобиля $a_{п}$ и заднеприводного $a_{з}$ равны:
$a_{п} = \frac{ \mu N_{1}}{m} = \frac{ \mu gL}{2(L + \mu H)} \approx 3,4 м/с^{2}$,
$a_{з} = \frac{ \mu N_{2}}{m} = \frac{ \mu gL}{2(L - \mu H)} \approx 4,9 м/с^{2}$,
Так как ускорение заднеприводного автомобиля больше, то он и победит в заезде на дистанцию $S = 10 м$. Вычислим, на какое время победитель обгонит побеждённого. Переднеприводный автомобиль придёт к финишу через время $t_{п} = \sqrt{2S/a_{п}} \approx 2,4 с$, а заднеприводный — через время $t_{з} = \sqrt{2S/a_{з}} \approx 2,0 с$. Таким образом, разница времён составит $\Delta t = t_{п} — t_{з} \approx 0,4с$.
Осталось проверить, хватит ли мощности $N = 100 кВт$ для пробуксовки в конце разгона. Для этого надо найти конечную скорость $v_{к}$ заднеприводного автомобиля (она больше, чем у переднеприводного!), и умножить её на силу трения: $N_{к} = F_{тр} v_{к} = ma_{з} \cdot \sqrt{2a_{з}S} \approx 48,5 кВт$. Значит, в конце заезда пробуксовка у обоих автомобилей ещё не кончится, и наше решение правильно.
У двух автомобилей расстояние между осями передних и задних колёс $L = 3 метра$, а центр масс находится на высоте $H = 0,7 м$ над дорогой на одинаковом расстоянии от каждого из четырёх колёс. Коэффициент трения колёс о дорогу $\mu = 0,8$. Масса каждого из автомобилей $m = 1000 кг$. Один из автомобилей переднеприводный, а другой заднеприводный. Автомобили снабжены моторами с одинаковой мощностью $N = 100 кВт$. Какой из автомобилей победит в заезде на $S = 10 м$ по прямой при старте с нулевой начальной скоростью? На какое время победитель обгонит отставшего? Водители «выжимают» из своих автомобилей всё возможное. Считайте ускорение свободного падения $g = 10 м/с^{2}$.
Решение:
Поскольку автомобили после старта движутся с ускорениями, то давления, оказываемые на дорогу передними и задними колёсами каждого автомобиля, различны. В условии сказано, что водители «выжимают» из автомобилей всё возможное. Будем считать, что мощности двигателя у обоих автомобилей при довольно небольшой их массе достаточно для того, чтобы в начальный период разгона ведущие колёса пробуксовывали (это надо будет проверить!). Значит, сила трения $F_{тр}$, движущая автомобиль и приложенная к ведущим колёсам, равна произведению коэффициента трения $\mu$ на силу реакции, действующую со стороны дороги на пару ведущих колёс.
Запишем для каждого из автомобилей уравнение моментов относительно горизонтальной оси $O$, перпендикулярной направлению движения, находящейся над дорогой на высоте центра масс автомобиля и лежащей над осью неведущих колёс. Для переднеприводного автомобиля имеем:
$mg \frac{L}{2} = N_{1}L + \mu N_{1}H$,
а для заднеприводного:
$mg \frac{L}{2} + \mu N_{2}H = N_{2}L$.
Здесь $N_{1}$ и $N_{2}$ — силы реакции, действующие на передние и задние колёса соответственно. Отсюда для переднеприводного автомобиля $N_{1} = \frac{mgL}{2(L+ \mu H)}$, а для заднеприводного $N_{2} = \frac{mgL}{2(L - \mu H)}$.
Ускорения переднеприводного автомобиля $a_{п}$ и заднеприводного $a_{з}$ равны:
$a_{п} = \frac{ \mu N_{1}}{m} = \frac{ \mu gL}{2(L + \mu H)} \approx 3,4 м/с^{2}$,
$a_{з} = \frac{ \mu N_{2}}{m} = \frac{ \mu gL}{2(L - \mu H)} \approx 4,9 м/с^{2}$,
Так как ускорение заднеприводного автомобиля больше, то он и победит в заезде на дистанцию $S = 10 м$. Вычислим, на какое время победитель обгонит побеждённого. Переднеприводный автомобиль придёт к финишу через время $t_{п} = \sqrt{2S/a_{п}} \approx 2,4 с$, а заднеприводный — через время $t_{з} = \sqrt{2S/a_{з}} \approx 2,0 с$. Таким образом, разница времён составит $\Delta t = t_{п} — t_{з} \approx 0,4с$.
Осталось проверить, хватит ли мощности $N = 100 кВт$ для пробуксовки в конце разгона. Для этого надо найти конечную скорость $v_{к}$ заднеприводного автомобиля (она больше, чем у переднеприводного!), и умножить её на силу трения: $N_{к} = F_{тр} v_{к} = ma_{з} \cdot \sqrt{2a_{з}S} \approx 48,5 кВт$. Значит, в конце заезда пробуксовка у обоих автомобилей ещё не кончится, и наше решение правильно.
