Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9471
2018-10-16 
Скорость звука $v$ в смеси гелия и азота при температуре $0^{ \circ} С$ равна 600 м/с. Определите отношение числа молей гелия к числу молей азота и постоянную адиабаты смеси.
Решение:
Скорость звука в газе $v = \sqrt{ \gamma \frac{RT}{M} }$, где $T$ - температура. Средняя молярная масса $M$ газовой смеси и ее постоянная адиабаты $\gamma$ зависят от отношения $\nu_{1}/ \nu_{2}$ количества молей компонент смеси. Обозначим это отношение буквой $x$ - именно его нам и надо определить. Пусть индекс «1» относится к гелию, индекс «2» - к азоту.
Постоянная адиабаты для смеси газов
$\gamma = \frac{C_{p,системы} }{C_{V, системы} } = \frac{ \nu_{1}C_{p1} + \nu_{2}C_{p2} }{ \nu_{1}C_{V1} + \nu_{2}C_{V2} }$. (1)
Подставив в формулу (1) $C_{p1} = \frac{5}{2} R, C_{V1} = \frac{3}{2} R$ (для гелия), $C_{p2} = \frac{7}{2}R, C_{V2} = \frac{5}{2} R$ (для азота), получаем для постоянной адиабаты:
$\gamma = \frac{5 \nu_{1} + 7 \nu_{2} }{3 nu_{1} + 5 \nu_{2} } = \frac{5x + 7}{3x + 5}$, (2)
(где $x = \frac{ \nu_{1} }{ \nu_{2} } $).
Средняя молярная масса смеси
$M = \frac{ \nu_{1}M_{1} + \nu_{2}M_{2} }{ \nu_{1} + \nu_{2} } = \frac{M_{1}x + M_{2} }{x + 1} $, (3)
где $M_{1} = 0,004 кг/моль$ - молярная масса гелия, и $M_{2} = 0,028 кг/моль$ - молярная масса азота. Учтем в формуле (3), что $M_{2} = 7M_{1}$, поэтому
$M = M_{1} \frac{x + 7}{x + 1}$. (4)
Квадрат скорости звука, с учетом формул (2) и (4), равен
$v^{2} = \frac{RT}{M_{1}} \frac{(5x + 7)(x + 1)}{(3x + 5)(x + 7)} = \frac{RT}{M_{1} } \frac{5x^{2} + 12x + 7}{3x^{2} + 26x + 35}$. (5)
Из формулы (5) можно получить квадратное уравнение относительно неизвестной $x$. Введем обозначение: $C = \frac{v^{2}M_{1} }{RT }$2 (это безразмерная величина). Формулу (5) можно тогда переписать в виде:
$C = \frac{5x^{2} +12x + 7}{3x^{2} + 26x + 35}$ (6).
Для числовых данных, указанных в условии задачи, $C = 0,635$. Далее, приведя формулу (6) к виду квадратного уравнения относительно x и решив его, находим после несложных, но громоздких вычислений положительный корень $x \approx 3$. Подставив найденное значение $x$ в формулу (2), вычисляем постоянную адиабаты: $\gamma = 1,57$.
Ответ: $\frac{ \nu_{He} }{ \nu_{N_{2} } } \approx 3, \gamma = 1,57$.
Скорость звука $v$ в смеси гелия и азота при температуре $0^{ \circ} С$ равна 600 м/с. Определите отношение числа молей гелия к числу молей азота и постоянную адиабаты смеси.
Решение:
Скорость звука в газе $v = \sqrt{ \gamma \frac{RT}{M} }$, где $T$ - температура. Средняя молярная масса $M$ газовой смеси и ее постоянная адиабаты $\gamma$ зависят от отношения $\nu_{1}/ \nu_{2}$ количества молей компонент смеси. Обозначим это отношение буквой $x$ - именно его нам и надо определить. Пусть индекс «1» относится к гелию, индекс «2» - к азоту.
Постоянная адиабаты для смеси газов
$\gamma = \frac{C_{p,системы} }{C_{V, системы} } = \frac{ \nu_{1}C_{p1} + \nu_{2}C_{p2} }{ \nu_{1}C_{V1} + \nu_{2}C_{V2} }$. (1)
Подставив в формулу (1) $C_{p1} = \frac{5}{2} R, C_{V1} = \frac{3}{2} R$ (для гелия), $C_{p2} = \frac{7}{2}R, C_{V2} = \frac{5}{2} R$ (для азота), получаем для постоянной адиабаты:
$\gamma = \frac{5 \nu_{1} + 7 \nu_{2} }{3 nu_{1} + 5 \nu_{2} } = \frac{5x + 7}{3x + 5}$, (2)
(где $x = \frac{ \nu_{1} }{ \nu_{2} } $).
Средняя молярная масса смеси
$M = \frac{ \nu_{1}M_{1} + \nu_{2}M_{2} }{ \nu_{1} + \nu_{2} } = \frac{M_{1}x + M_{2} }{x + 1} $, (3)
где $M_{1} = 0,004 кг/моль$ - молярная масса гелия, и $M_{2} = 0,028 кг/моль$ - молярная масса азота. Учтем в формуле (3), что $M_{2} = 7M_{1}$, поэтому
$M = M_{1} \frac{x + 7}{x + 1}$. (4)
Квадрат скорости звука, с учетом формул (2) и (4), равен
$v^{2} = \frac{RT}{M_{1}} \frac{(5x + 7)(x + 1)}{(3x + 5)(x + 7)} = \frac{RT}{M_{1} } \frac{5x^{2} + 12x + 7}{3x^{2} + 26x + 35}$. (5)
Из формулы (5) можно получить квадратное уравнение относительно неизвестной $x$. Введем обозначение: $C = \frac{v^{2}M_{1} }{RT }$2 (это безразмерная величина). Формулу (5) можно тогда переписать в виде:
$C = \frac{5x^{2} +12x + 7}{3x^{2} + 26x + 35}$ (6).
Для числовых данных, указанных в условии задачи, $C = 0,635$. Далее, приведя формулу (6) к виду квадратного уравнения относительно x и решив его, находим после несложных, но громоздких вычислений положительный корень $x \approx 3$. Подставив найденное значение $x$ в формулу (2), вычисляем постоянную адиабаты: $\gamma = 1,57$.
Ответ: $\frac{ \nu_{He} }{ \nu_{N_{2} } } \approx 3, \gamma = 1,57$.
