Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 947
2016-09-17 
В системе, изображённой на рисунке, тело массой $M$ может скользить без трения по горизонтальной плоскости. Коэффициент трения между телами $M$ и $m$ равен $\mu$. Найдите ускорение $a$ тела $M$. Массой блоков и нерастяжимой нити пренебречь. Ускорение свободного падения равно $g$.
Решение:
Из условия задачи ясно, что оба тела должны двигаться. Проведём координатные оси $X$ и $Y$ так, как указано на рисунке, и рассмотрим силы, действующие на тела в данной системе.
На тело массой $m$ действуют: сила тяжести $m \vec{g}$ сила натяжения нити $\vec{T}_{1}$, направленная вверх и равная по величине $T$, сила реакции $\vec{N}_{1}$ со стороны тела массой $M$ и сила трения $\vec{F}_{тр}$. Тогда второй закон Ньютона для тела $m$ можно записать так:
$m\vec{a}_{1} = m \vec{g} + \vec{T}_{1} + \vec{N}_{1} + \vec{F}_{тр}$.
На тело массой $M$ действуют: сила тяжести $M \vec{g}$, сила реакции со стороны горизонтальной плоскости $\vec{N}_{2}$, сила натяжения нити $- \vec{T}_{1}$, направленная вниз и равная по величине $T$, сила трения $ — \vec{F}_{тр}$, две силы натяжения нити $\vec{T}_{2}$, направленные вправо и равные по величине $T$, и сила реакции $— \vec{N}_{1}$ со стороны тела массой $m$. Второй закон Ньютона для тела $M$ имеет вид:
$M \vec{a}_{2} = M \vec{g} + \vec{N}_{2} + (- \vec{T}_{1}) + (- \vec{F}_{тр}) + 2 \vec{T}_{2} + ( - \vec{N}_{1})$.
Запишем векторные уравнения второго закона Ньютона для тел в проекциях на координатные оси с учётом того, что оба тела двигаются вдоль оси $X$ с одинаковым ускорением $a$:
$ma_{1x} = N_{1} = ma; Ma_{2x} = 2T + (-N_{1}) = Ma$;
$ma_{1y} = - mg + T + F_{тр}; Ma_{2y} = - Mg + N_{2} + (-T) + (-F_{тр}) = 0$.
Складывая два верхних уравнения, получим: $ma + Ma =2T$, и $N_{1} = ma = \frac{2m}{m + M} T$. Поскольку тело $m$ скользит по телу $M$, то сила трения $F_{тр} = \mu N_{1}$, откуда
$ma_{1y} = - mg + T + \mu \frac{2m}{m+M} T$.
Так как нить нерастяжима, то величина смещения тела $m$ по вертикали будет вдвое больше, чем смещение обоих тел в горизонтальном направлении, а значит, вертикальная составляющая ускорения тела $m$ по величине также вдвое больше горизонтальной составляющей. Следовательно, $a_{1y} = —2a$, и
$ma_{1y} = —2ma = - \frac{4m}{m+M} T = T — mg + \mu \frac{2m}{m+M}T$.
Отсюда находим силу натяжения нити $T$:
$T = \frac{m+M}{M + (5 + 2 \mu)m} mg$,
и для ускорения тела $M$ получаем
$a = \frac{2T}{m+M} = \frac{2mg}{M + (5 + 2 \mu) m}$.
В системе, изображённой на рисунке, тело массой $M$ может скользить без трения по горизонтальной плоскости. Коэффициент трения между телами $M$ и $m$ равен $\mu$. Найдите ускорение $a$ тела $M$. Массой блоков и нерастяжимой нити пренебречь. Ускорение свободного падения равно $g$.
Решение:
Из условия задачи ясно, что оба тела должны двигаться. Проведём координатные оси $X$ и $Y$ так, как указано на рисунке, и рассмотрим силы, действующие на тела в данной системе.
На тело массой $m$ действуют: сила тяжести $m \vec{g}$ сила натяжения нити $\vec{T}_{1}$, направленная вверх и равная по величине $T$, сила реакции $\vec{N}_{1}$ со стороны тела массой $M$ и сила трения $\vec{F}_{тр}$. Тогда второй закон Ньютона для тела $m$ можно записать так:
$m\vec{a}_{1} = m \vec{g} + \vec{T}_{1} + \vec{N}_{1} + \vec{F}_{тр}$.
На тело массой $M$ действуют: сила тяжести $M \vec{g}$, сила реакции со стороны горизонтальной плоскости $\vec{N}_{2}$, сила натяжения нити $- \vec{T}_{1}$, направленная вниз и равная по величине $T$, сила трения $ — \vec{F}_{тр}$, две силы натяжения нити $\vec{T}_{2}$, направленные вправо и равные по величине $T$, и сила реакции $— \vec{N}_{1}$ со стороны тела массой $m$. Второй закон Ньютона для тела $M$ имеет вид:
$M \vec{a}_{2} = M \vec{g} + \vec{N}_{2} + (- \vec{T}_{1}) + (- \vec{F}_{тр}) + 2 \vec{T}_{2} + ( - \vec{N}_{1})$.
Запишем векторные уравнения второго закона Ньютона для тел в проекциях на координатные оси с учётом того, что оба тела двигаются вдоль оси $X$ с одинаковым ускорением $a$:
$ma_{1x} = N_{1} = ma; Ma_{2x} = 2T + (-N_{1}) = Ma$;
$ma_{1y} = - mg + T + F_{тр}; Ma_{2y} = - Mg + N_{2} + (-T) + (-F_{тр}) = 0$.
Складывая два верхних уравнения, получим: $ma + Ma =2T$, и $N_{1} = ma = \frac{2m}{m + M} T$. Поскольку тело $m$ скользит по телу $M$, то сила трения $F_{тр} = \mu N_{1}$, откуда
$ma_{1y} = - mg + T + \mu \frac{2m}{m+M} T$.
Так как нить нерастяжима, то величина смещения тела $m$ по вертикали будет вдвое больше, чем смещение обоих тел в горизонтальном направлении, а значит, вертикальная составляющая ускорения тела $m$ по величине также вдвое больше горизонтальной составляющей. Следовательно, $a_{1y} = —2a$, и
$ma_{1y} = —2ma = - \frac{4m}{m+M} T = T — mg + \mu \frac{2m}{m+M}T$.
Отсюда находим силу натяжения нити $T$:
$T = \frac{m+M}{M + (5 + 2 \mu)m} mg$,
и для ускорения тела $M$ получаем
$a = \frac{2T}{m+M} = \frac{2mg}{M + (5 + 2 \mu) m}$.
