Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9465
2018-10-16 
Получите выражение для энергии Ферми $\epsilon_{F}$ электронов проводимости в металле при $T = 0$, если концентрация электронов проводимости равна $n$.
Решение:
При $T = 0$ в металле все состояния с энергиями $\epsilon < \epsilon_{F}$ заполнены свободными электронами; в состояниях же с $\epsilon > \epsilon_{F}$ электронов нет. Таким образом, $\epsilon_{F}$ - это максимальная энергия свободных электронов в металле при $T = 0$.
Функция распределения электронов в металле по энергиям $f( \epsilon) = \frac{dn( \epsilon)}{d \epsilon}$, где $dn( \epsilon)$ - среднее число свободных электронов в единице объема, имеющих при температуре $T$ энергию в интервале $( \epsilon, \epsilon + d \epsilon)$. Если проинтегрировать эту функцию по всем возможным значениям энергии, мы получим полное число свободных электронов в единице объема, т. е. их концентрацию $n$:
$n = \int_{0}^{ \epsilon_{max} } f( \epsilon) d \epsilon$. (1)
Когда $T \rightarrow 0$, верхний предел интеграла (1) $\epsilon_{max} = \epsilon_{F}, f( \epsilon) = 2A \sqrt{ \epsilon }$, поэтому
$n = 2A \int_{0}^{ \epsilon_{F} } \sqrt{ \epsilon} d \epsilon = \frac{4}{3} A \epsilon_{F}^{3/2} $. (2)
Из соотношения (2) выражаем энергию Ферми: $\epsilon_{F} = \left ( \frac{3n}{4A} \right )^{2/3}$. Учитывая, что $A = \frac{4 \pi \sqrt{2} m^{3/2} }{h^{3} }$, приходим к окончательному ответу: $\epsilon_{F} = \frac{h^{2} }{8m} \left ( \frac{3n}{ \pi} \right )^{2/3}$. По порядку величины энергия Ферми для свободных электронов в металле составляет несколько электронвольт.
Ответ: $\epsilon_{F} = \frac{h^{2} }{8m} \left ( \frac{3n}{ \pi} \right )^{2/3}$
Получите выражение для энергии Ферми $\epsilon_{F}$ электронов проводимости в металле при $T = 0$, если концентрация электронов проводимости равна $n$.
Решение:
При $T = 0$ в металле все состояния с энергиями $\epsilon < \epsilon_{F}$ заполнены свободными электронами; в состояниях же с $\epsilon > \epsilon_{F}$ электронов нет. Таким образом, $\epsilon_{F}$ - это максимальная энергия свободных электронов в металле при $T = 0$.
Функция распределения электронов в металле по энергиям $f( \epsilon) = \frac{dn( \epsilon)}{d \epsilon}$, где $dn( \epsilon)$ - среднее число свободных электронов в единице объема, имеющих при температуре $T$ энергию в интервале $( \epsilon, \epsilon + d \epsilon)$. Если проинтегрировать эту функцию по всем возможным значениям энергии, мы получим полное число свободных электронов в единице объема, т. е. их концентрацию $n$:
$n = \int_{0}^{ \epsilon_{max} } f( \epsilon) d \epsilon$. (1)
Когда $T \rightarrow 0$, верхний предел интеграла (1) $\epsilon_{max} = \epsilon_{F}, f( \epsilon) = 2A \sqrt{ \epsilon }$, поэтому
$n = 2A \int_{0}^{ \epsilon_{F} } \sqrt{ \epsilon} d \epsilon = \frac{4}{3} A \epsilon_{F}^{3/2} $. (2)
Из соотношения (2) выражаем энергию Ферми: $\epsilon_{F} = \left ( \frac{3n}{4A} \right )^{2/3}$. Учитывая, что $A = \frac{4 \pi \sqrt{2} m^{3/2} }{h^{3} }$, приходим к окончательному ответу: $\epsilon_{F} = \frac{h^{2} }{8m} \left ( \frac{3n}{ \pi} \right )^{2/3}$. По порядку величины энергия Ферми для свободных электронов в металле составляет несколько электронвольт.
Ответ: $\epsilon_{F} = \frac{h^{2} }{8m} \left ( \frac{3n}{ \pi} \right )^{2/3}$
