Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9464
2018-10-16 
Предполагая, что атмосферное давление убывает с высотой в соответствии с барометрической формулой Больцмана, получите формулу для высоты $H$ центра масс вертикального цилиндрического столба воздуха. Температуру $T$ считайте постоянной. Во сколько раз плотность воздуха $\rho_{н}$ на этой высоте меньше плотности воздуха $\rho_{0}$ у поверхности Земли? Сделайте расчет для $T = 287 К$.
Решение:
Направим ось $Z$ вертикально вверх. По определению, высота центра масс системы с непрерывно распределенной массой
$H = \frac{ \int zdm }{ \int dm}$, (1)
где $dm$ - элементы массы, $z$ - их координаты.
Рассмотрим вертикальный воздушный столб, опирающийся на площадку площади $S$. Плотность $\rho$ воздуха в изотермической атмосфере меняется с высотой согласно барометрической формуле:
$\rho(z) = \rho_{0} e^{ - \frac{Mgz}{RT}}$,
где $M$ - молярная масса воздуха, $\rho_{0}$ - его плотность около земной поверхности. В слое толщины $dz$, расположенном на высоте $z$, содержится масса воздуха $dm = S \rho(z)dz$. Интегралы в формуле (1) должны браться в пределах от нуля до бесконечности. Ускорение свободного падения $g$, конечно, зависит от высоты. Но надо иметь в виду, что практически вся масса атмосферного воздуха сосредоточена в слое толщиной около 50 км (а 90% этой массы -в еще более узком слое толщиной 10-15 км), а на таких высотах $g$ вполне можно считать постоянной величиной.
Итак, нам надо вычислить два интеграла. Интеграл $\int dm$ в знаменателе формулы (1) - это масса $m$ воздушного столба, опирающегося на площадку $S$:
$m = S \rho_{0} \int_{0}^{ \infty} e^{ - \frac{Mgz}{RT} } dz = S \rho_{0} \frac{RT}{Mg}$. (2)
Результат получился вполне очевидный. В самом деле, подставив в формулу (2) $\rho_{0} = p_{0}M/RT$, получаем: $m = p_{0}S/g$ - это значит, что сила давления $p_{0}S$ воздушного столба создается его тяжестью $mg$.
Интеграл $\int zdm$ в числителе формулы (1) имеет вид $I = S \rho_{0} \int_{0}^{ \infty} z e^{ - \alpha z} dz$ и берется по частям. Убедитесь сами, что $I = S \rho_{0}/ \alpha^{2}$. В нашем случае $\alpha = Mg/RT, I = S \rho_{0} (RT/Mg )^{2}$.
После подстановки значений обоих интегралов в формулу (1) получим высоту центра масс воздушного столба: $H = RT/Mg = 8,4 км$. На этой высоте давление и плотность воздуха убывают в $e \approx 2,7$ раз.
Ответ: $H = \frac{RT}{Mg}; \frac{ \rho_{0} }{ \rho_{н} } = e \approx 2 7$.
Предполагая, что атмосферное давление убывает с высотой в соответствии с барометрической формулой Больцмана, получите формулу для высоты $H$ центра масс вертикального цилиндрического столба воздуха. Температуру $T$ считайте постоянной. Во сколько раз плотность воздуха $\rho_{н}$ на этой высоте меньше плотности воздуха $\rho_{0}$ у поверхности Земли? Сделайте расчет для $T = 287 К$.
Решение:
Направим ось $Z$ вертикально вверх. По определению, высота центра масс системы с непрерывно распределенной массой
$H = \frac{ \int zdm }{ \int dm}$, (1)
где $dm$ - элементы массы, $z$ - их координаты.
Рассмотрим вертикальный воздушный столб, опирающийся на площадку площади $S$. Плотность $\rho$ воздуха в изотермической атмосфере меняется с высотой согласно барометрической формуле:
$\rho(z) = \rho_{0} e^{ - \frac{Mgz}{RT}}$,
где $M$ - молярная масса воздуха, $\rho_{0}$ - его плотность около земной поверхности. В слое толщины $dz$, расположенном на высоте $z$, содержится масса воздуха $dm = S \rho(z)dz$. Интегралы в формуле (1) должны браться в пределах от нуля до бесконечности. Ускорение свободного падения $g$, конечно, зависит от высоты. Но надо иметь в виду, что практически вся масса атмосферного воздуха сосредоточена в слое толщиной около 50 км (а 90% этой массы -в еще более узком слое толщиной 10-15 км), а на таких высотах $g$ вполне можно считать постоянной величиной.
Итак, нам надо вычислить два интеграла. Интеграл $\int dm$ в знаменателе формулы (1) - это масса $m$ воздушного столба, опирающегося на площадку $S$:
$m = S \rho_{0} \int_{0}^{ \infty} e^{ - \frac{Mgz}{RT} } dz = S \rho_{0} \frac{RT}{Mg}$. (2)
Результат получился вполне очевидный. В самом деле, подставив в формулу (2) $\rho_{0} = p_{0}M/RT$, получаем: $m = p_{0}S/g$ - это значит, что сила давления $p_{0}S$ воздушного столба создается его тяжестью $mg$.
Интеграл $\int zdm$ в числителе формулы (1) имеет вид $I = S \rho_{0} \int_{0}^{ \infty} z e^{ - \alpha z} dz$ и берется по частям. Убедитесь сами, что $I = S \rho_{0}/ \alpha^{2}$. В нашем случае $\alpha = Mg/RT, I = S \rho_{0} (RT/Mg )^{2}$.
После подстановки значений обоих интегралов в формулу (1) получим высоту центра масс воздушного столба: $H = RT/Mg = 8,4 км$. На этой высоте давление и плотность воздуха убывают в $e \approx 2,7$ раз.
Ответ: $H = \frac{RT}{Mg}; \frac{ \rho_{0} }{ \rho_{н} } = e \approx 2 7$.
