Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9461
2018-10-16 
Сосуд объемом $V = 1 л$ наполнен гелием, температура которого $T = 400 К$ поддерживается постоянной. Через небольшое отверстие площадью $s = 0,1 мм^{2}$ молекулы гелия вылетают в вакуум. За какое время $\tau$ давление в сосуде уменьшится в $k = 2$ раза? Как изменится $\tau$, если сосуд заполнен не гелием, а азотом?
Решение:
В единицу времени через отверстие площадью $s$ вылетает $sn \bar{v}/4$ молекул (см. решение 9459), где $n = N/V$ - концентрация, $\bar{v} = \sqrt{ \frac{8kT}{ \pi m}} = \sqrt{ \frac{8RT}{ \pi m} }$ - средняя скорость молекул. Убыль числа молекул в сосуде за интервал времени $dt$ равна $dN = - s \frac{n \bar{v} }{4} dt$. Подставив сюда $n = N/V$ и разделив переменные, получим дифференциальное уравнение, определяющее зависимость числа молекул в сосуде от времени: $\frac{dN}{N} = - \frac{s \bar{v} }{4V} dt$. Давление, согласно уравнению состояния идеального газа, $p = nkT = \frac{N}{V} kT$. При постоянных объеме и температуре давление пропорционально числу молекул: $p \sim N$, поэтому $\frac{dN}{N} = \frac{dp}{p}$. Итак, для давления мы имеем такое же дифференциальное уравнение
$\frac{dp}{p} = - \frac{s \bar{v} }{4V} dt$.
Проинтегрируем обе части этого уравнения, согласовав пределы: при $t = 0$ давление $p = p_{0}$ (нижние пределы), к моменту $t = \tau$ давление $p = p_{0}/k$ (верхние пределы): $\int_{p_{0} }^{p_{0}/k } \frac{dp}{p} = - \int_{0}^{ \tau} \frac{s \bar{v} }{4V} dt$, или $ln \frac{1}{k} = - \frac{s \bar{v} \tau }{4V}$, откуда $\tau = \frac{4V ln k}{s \bar{v} }$.
Сделаем числовой расчет. Молекулы гелия легче и средняя скорость у них больше, чем у азота: $\bar{v}_{He} = 1455 м/с, \bar{v}_{N_{2} } = 550 м/с$. Гелий покидает сосуд быстрее. Для гелия $\tau = 1,3 с$; для азота $\tau = 3,44 с$.
Ответ: для гелия $\tau = 1,3 с$; для азота $\tau = 3,44 с$.
Сосуд объемом $V = 1 л$ наполнен гелием, температура которого $T = 400 К$ поддерживается постоянной. Через небольшое отверстие площадью $s = 0,1 мм^{2}$ молекулы гелия вылетают в вакуум. За какое время $\tau$ давление в сосуде уменьшится в $k = 2$ раза? Как изменится $\tau$, если сосуд заполнен не гелием, а азотом?
Решение:
В единицу времени через отверстие площадью $s$ вылетает $sn \bar{v}/4$ молекул (см. решение 9459), где $n = N/V$ - концентрация, $\bar{v} = \sqrt{ \frac{8kT}{ \pi m}} = \sqrt{ \frac{8RT}{ \pi m} }$ - средняя скорость молекул. Убыль числа молекул в сосуде за интервал времени $dt$ равна $dN = - s \frac{n \bar{v} }{4} dt$. Подставив сюда $n = N/V$ и разделив переменные, получим дифференциальное уравнение, определяющее зависимость числа молекул в сосуде от времени: $\frac{dN}{N} = - \frac{s \bar{v} }{4V} dt$. Давление, согласно уравнению состояния идеального газа, $p = nkT = \frac{N}{V} kT$. При постоянных объеме и температуре давление пропорционально числу молекул: $p \sim N$, поэтому $\frac{dN}{N} = \frac{dp}{p}$. Итак, для давления мы имеем такое же дифференциальное уравнение
$\frac{dp}{p} = - \frac{s \bar{v} }{4V} dt$.
Проинтегрируем обе части этого уравнения, согласовав пределы: при $t = 0$ давление $p = p_{0}$ (нижние пределы), к моменту $t = \tau$ давление $p = p_{0}/k$ (верхние пределы): $\int_{p_{0} }^{p_{0}/k } \frac{dp}{p} = - \int_{0}^{ \tau} \frac{s \bar{v} }{4V} dt$, или $ln \frac{1}{k} = - \frac{s \bar{v} \tau }{4V}$, откуда $\tau = \frac{4V ln k}{s \bar{v} }$.
Сделаем числовой расчет. Молекулы гелия легче и средняя скорость у них больше, чем у азота: $\bar{v}_{He} = 1455 м/с, \bar{v}_{N_{2} } = 550 м/с$. Гелий покидает сосуд быстрее. Для гелия $\tau = 1,3 с$; для азота $\tau = 3,44 с$.
Ответ: для гелия $\tau = 1,3 с$; для азота $\tau = 3,44 с$.
