Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9458
2018-10-16 
При какой температуре газа $T_{0}$ число молекул со скоростями в заданном интервале $(v_{0}, v_{0} + \Delta v)$ будет максимально? Считайте, что $\Delta v \ll v_{0}$. Каковы наивероятнейшая и среднеквадратичная скорости, соответствующие этой температуре? Молярная масса газа $M$.
Решение:
Доля молекул $\Delta N/N$, скорости которых лежат в заданном интервале $(v_{0}, v_{0} + \Delta v)$, определяется, вообще говоря, интегрированием максвелловской функцией распределения $F(v)$ по скорости. Но так как интервал скоростей очень мал ($\Delta v \ll v_{0}$), то
$\frac{ \Delta N}{N} = F(v_{0} ) \Delta v$. (1)
При любой фиксированной температуре и фиксированной величине $\Delta v$ наибольшая доля молекул приходится на интервал вблизи наивероятнейшей скорости, так как здесь функция $F(v)$ достигает максимума (см. рис.). Но в этой задаче вопрос ставится по-другому: фиксируется некоторая скорость $v_{0}$; надо выяснить, при какой температуре $T_{0}$ значение максвелловской функции $F(v_{0})$ будет наибольшим именно для этой скорости. Иными словами, нам надо найти экстремум максвелловской функции не по отношению к скоростям (при фиксированной температуре), а по отношению к температурам (при фиксированной скорости). Итак, берем функцию Максвелла при скорости $v_{0}$
$F (v_{0} ) = 4 \pi v_{0}^{2} \left ( \frac{m}{2 \pi kT} \right )^{3/2} e^{ - \frac{mv_{0}^{2} }{2kT} }$. (2)
Дифференцируем ее по температуре (считая $v_{0}$ константой) и приравниваем производную нулю:
$\frac{ \partial F}{ \partial T} = 4 \pi v_{0}^{2} \left ( \frac{m}{2 \pi kT} \right )^{3/2} e^{ - \frac{mv_{0}^{2} }{2kT} } \left ( - \frac{3}{2} T^{ -5/2} + T^{ -3/2} \frac{mv_{0}^{2} }{2kT} \frac{1}{T^{2} } \right ) = 0$.
Для обращения производной в ноль выражение в квадратных скобках должно равняться нулю. Из этого условия находим температуру
$T = \frac{mv_{0}^{2} }{3k} = \frac{Mv_{0}^{2} }{3R}$. (3)
Это и есть искомая температура $T_{0}$. При этой температуре наивероятнейшая скорость будет равной $v_{н} (T_{0} ) = \sqrt{2RT/M} = \sqrt{2/3} v_{0}$; среднеквадратичная скорость $v_{кв}(T_{0} ) = \sqrt{3RT_{0}/M } = v_{0}$. Итак, доля молекул со скоростями в малом интервале вблизи заданной скорости $v_{0}$ будет максимальной при такой температуре, при которой $v_{0}$ станет среднеквадратичной скоростью молекул.
Ответ: $T = \frac{Mv_{0}^{2} }{3R}; v_{н} = \sqrt{ \frac{2}{3} } v_{0}; v_{кв} = v_{0}$.
При какой температуре газа $T_{0}$ число молекул со скоростями в заданном интервале $(v_{0}, v_{0} + \Delta v)$ будет максимально? Считайте, что $\Delta v \ll v_{0}$. Каковы наивероятнейшая и среднеквадратичная скорости, соответствующие этой температуре? Молярная масса газа $M$.
Решение:
Доля молекул $\Delta N/N$, скорости которых лежат в заданном интервале $(v_{0}, v_{0} + \Delta v)$, определяется, вообще говоря, интегрированием максвелловской функцией распределения $F(v)$ по скорости. Но так как интервал скоростей очень мал ($\Delta v \ll v_{0}$), то
$\frac{ \Delta N}{N} = F(v_{0} ) \Delta v$. (1)
При любой фиксированной температуре и фиксированной величине $\Delta v$ наибольшая доля молекул приходится на интервал вблизи наивероятнейшей скорости, так как здесь функция $F(v)$ достигает максимума (см. рис.). Но в этой задаче вопрос ставится по-другому: фиксируется некоторая скорость $v_{0}$; надо выяснить, при какой температуре $T_{0}$ значение максвелловской функции $F(v_{0})$ будет наибольшим именно для этой скорости. Иными словами, нам надо найти экстремум максвелловской функции не по отношению к скоростям (при фиксированной температуре), а по отношению к температурам (при фиксированной скорости). Итак, берем функцию Максвелла при скорости $v_{0}$
$F (v_{0} ) = 4 \pi v_{0}^{2} \left ( \frac{m}{2 \pi kT} \right )^{3/2} e^{ - \frac{mv_{0}^{2} }{2kT} }$. (2)
Дифференцируем ее по температуре (считая $v_{0}$ константой) и приравниваем производную нулю:
$\frac{ \partial F}{ \partial T} = 4 \pi v_{0}^{2} \left ( \frac{m}{2 \pi kT} \right )^{3/2} e^{ - \frac{mv_{0}^{2} }{2kT} } \left ( - \frac{3}{2} T^{ -5/2} + T^{ -3/2} \frac{mv_{0}^{2} }{2kT} \frac{1}{T^{2} } \right ) = 0$.
Для обращения производной в ноль выражение в квадратных скобках должно равняться нулю. Из этого условия находим температуру
$T = \frac{mv_{0}^{2} }{3k} = \frac{Mv_{0}^{2} }{3R}$. (3)
Это и есть искомая температура $T_{0}$. При этой температуре наивероятнейшая скорость будет равной $v_{н} (T_{0} ) = \sqrt{2RT/M} = \sqrt{2/3} v_{0}$; среднеквадратичная скорость $v_{кв}(T_{0} ) = \sqrt{3RT_{0}/M } = v_{0}$. Итак, доля молекул со скоростями в малом интервале вблизи заданной скорости $v_{0}$ будет максимальной при такой температуре, при которой $v_{0}$ станет среднеквадратичной скоростью молекул.
Ответ: $T = \frac{Mv_{0}^{2} }{3R}; v_{н} = \sqrt{ \frac{2}{3} } v_{0}; v_{кв} = v_{0}$.
