Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9457
2018-10-16 
Молекулы находятся в сферическом сосуде радиуса $R$. Запишите функцию $f(r)$ распределения молекул по расстояниям $r$ от центра сосуда и вычислите среднее значение $\bar{r}$ этого расстояния.
Решение:
Функция распределения молекул по расстояниям $r$ определяет долю молекул, находящихся от центра на расстояниях от $r$ до $(r + dr)$:
$f(r)dr = \frac{dN(r;r + dr) }{N}$ (1),
где $N$ - полное число молекул в сосуде. Молекулы распределены по сосуду объемом $V = \frac{4}{3} \pi R^{3}$ в среднем равномерно, поэтому их концентрация $n = \frac{N}{V} = \frac{3N}{4 \pi R^{3} }$. Число молекул, удаленных от центра сосуда на расстояния от $r$ до $(r + dr)$, равно произведению концентрации $n$ на объем тонкого шарового слоя радиуса $r$ и толщины $dr$: $dN(r; r + dr) = n 4 \pi r^{2} dr = 3N r^{2} dr/R^{3}$. Подставляя это выражение в формулу (1), получаем: $f(r)dr = 3r^{2}dr/R^{3}$, или
$f(r) = \frac{3r^{2} }{R^{3} }$.
Зная функцию распределения, находим среднее значение $r$ по общему правилу:
$\bar{r} = \int_{0}^{R} rf(r) dr = \int_{0}^{R} \frac{3r^{3} }{R^{3} } dr = \frac{3}{4}R$.
Молекулы находятся в сферическом сосуде радиуса $R$. Запишите функцию $f(r)$ распределения молекул по расстояниям $r$ от центра сосуда и вычислите среднее значение $\bar{r}$ этого расстояния.
Решение:
Функция распределения молекул по расстояниям $r$ определяет долю молекул, находящихся от центра на расстояниях от $r$ до $(r + dr)$:
$f(r)dr = \frac{dN(r;r + dr) }{N}$ (1),
где $N$ - полное число молекул в сосуде. Молекулы распределены по сосуду объемом $V = \frac{4}{3} \pi R^{3}$ в среднем равномерно, поэтому их концентрация $n = \frac{N}{V} = \frac{3N}{4 \pi R^{3} }$. Число молекул, удаленных от центра сосуда на расстояния от $r$ до $(r + dr)$, равно произведению концентрации $n$ на объем тонкого шарового слоя радиуса $r$ и толщины $dr$: $dN(r; r + dr) = n 4 \pi r^{2} dr = 3N r^{2} dr/R^{3}$. Подставляя это выражение в формулу (1), получаем: $f(r)dr = 3r^{2}dr/R^{3}$, или
$f(r) = \frac{3r^{2} }{R^{3} }$.
Зная функцию распределения, находим среднее значение $r$ по общему правилу:
$\bar{r} = \int_{0}^{R} rf(r) dr = \int_{0}^{R} \frac{3r^{3} }{R^{3} } dr = \frac{3}{4}R$.
