Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9453
2018-10-16 
Открытая с двух концов трубка длины $l = 76 см$ в вертикальном положении погружена в ртуть до половины длины. Какова будет высота $h$ столба ртути в трубке, если, плотно закрыв верхнее отверстие, вынуть трубку из ртути? Атмосферное давление $p_{0} = 760 мм рт. ст$.
Решение:
Воздух, занимавший верхнюю половину трубки, погруженной в ртуть, после того, как закрыли верхнее отверстие трубки, оказался заперт. Когда трубку вынули из сосуда с ртутью, часть ртути вытекла из трубки, и воздух, запертый в верхней части трубки, расширился. Это расширение можно считать изотермическим благодаря теплообмену с окружающей средой. Из-за расширения давление воздуха в верхней части трубки уменьшилось. Разность сил давления, действующих на верхний и нижний концы оставшегося в трубке столбика ртути, будет удерживать этот столбик в равновесии.
Все вышесказанное описывается двумя уравнениями: уравнением изотермического процесса для запертого в трубке столба воздуха и условием равновесия столбика ртути. В начальном состоянии длина воздушного столба в трубке была равной $l/2$, в конечном состоянии она равна $(l - h)$. Начальное давление воздуха $p_{0}$, конечное обозначим буквой $p$. Из уравнения изотермического процесса следует:
$p_{0} \frac{l}{2} = p(l - h)$. (1)
На столбик ртути снизу действует атмосферное давление $p_{0}$, сверху - давление $p$ воздушного столба. Чтобы столбик ртути высоты $h$ находился в равновесии, должно выполняться условие:
$p_{0} = p + \rho gh$, (2)
где $\rho$ - плотность ртути. Уравнения (1) и (2) образуют систему с двумя неизвестными величинами - $p$ и $h$. Выражаем из первого уравнения $p$ и подставляем во второе:
$p_{0} \frac{l}{2} = (p_{0} - \rho gh)(l - h)$. (3)
Уравнение (3) - это квадратное уравнение относительно $h$. Чтобы упростить дальнейшие вычисления, введем обозначение для атмосферного давления: $p_{0} = \rho gH$, где $H = 76 см$. Тогда уравнение (3) примет вид: $H \frac{l}{2} = (H - h)(l - h)$. Приводим его к стандартной форме: $h^{2} - h(l + H) + \frac{1}{2}lH = 0$. Математически это уравнение имеет два решения:
$h_{1,2} = \frac{l + H \pm \sqrt{(l + H)^{2} - 2lH } }{2} = \frac{l + H \pm \sqrt{l^{2} + H^{2} } }{2}$.
Оба корня уравнения положительны. Однако физический смысл имеет только один из них - тот, который соответствует знаку минус перед дискриминантом, так как $h$ не может превышать длину трубки $l$. Итак, $h = \frac{1}{2} \left ( l + H - \sqrt{l^{2} + H^{2}} \right ) \approx 22,3 см$.
Открытая с двух концов трубка длины $l = 76 см$ в вертикальном положении погружена в ртуть до половины длины. Какова будет высота $h$ столба ртути в трубке, если, плотно закрыв верхнее отверстие, вынуть трубку из ртути? Атмосферное давление $p_{0} = 760 мм рт. ст$.
Решение:
Воздух, занимавший верхнюю половину трубки, погруженной в ртуть, после того, как закрыли верхнее отверстие трубки, оказался заперт. Когда трубку вынули из сосуда с ртутью, часть ртути вытекла из трубки, и воздух, запертый в верхней части трубки, расширился. Это расширение можно считать изотермическим благодаря теплообмену с окружающей средой. Из-за расширения давление воздуха в верхней части трубки уменьшилось. Разность сил давления, действующих на верхний и нижний концы оставшегося в трубке столбика ртути, будет удерживать этот столбик в равновесии.
Все вышесказанное описывается двумя уравнениями: уравнением изотермического процесса для запертого в трубке столба воздуха и условием равновесия столбика ртути. В начальном состоянии длина воздушного столба в трубке была равной $l/2$, в конечном состоянии она равна $(l - h)$. Начальное давление воздуха $p_{0}$, конечное обозначим буквой $p$. Из уравнения изотермического процесса следует:
$p_{0} \frac{l}{2} = p(l - h)$. (1)
На столбик ртути снизу действует атмосферное давление $p_{0}$, сверху - давление $p$ воздушного столба. Чтобы столбик ртути высоты $h$ находился в равновесии, должно выполняться условие:
$p_{0} = p + \rho gh$, (2)
где $\rho$ - плотность ртути. Уравнения (1) и (2) образуют систему с двумя неизвестными величинами - $p$ и $h$. Выражаем из первого уравнения $p$ и подставляем во второе:
$p_{0} \frac{l}{2} = (p_{0} - \rho gh)(l - h)$. (3)
Уравнение (3) - это квадратное уравнение относительно $h$. Чтобы упростить дальнейшие вычисления, введем обозначение для атмосферного давления: $p_{0} = \rho gH$, где $H = 76 см$. Тогда уравнение (3) примет вид: $H \frac{l}{2} = (H - h)(l - h)$. Приводим его к стандартной форме: $h^{2} - h(l + H) + \frac{1}{2}lH = 0$. Математически это уравнение имеет два решения:
$h_{1,2} = \frac{l + H \pm \sqrt{(l + H)^{2} - 2lH } }{2} = \frac{l + H \pm \sqrt{l^{2} + H^{2} } }{2}$.
Оба корня уравнения положительны. Однако физический смысл имеет только один из них - тот, который соответствует знаку минус перед дискриминантом, так как $h$ не может превышать длину трубки $l$. Итак, $h = \frac{1}{2} \left ( l + H - \sqrt{l^{2} + H^{2}} \right ) \approx 22,3 см$.
