Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 945
2016-09-17 
Через вращающийся с постоянной угловой скоростью шероховатый шкив переброшена невесомая нерастяжимая верёвка, к концам которой подвешены два груза. В начальный момент времени скорости грузов равны нулю, а ускорение первого груза направлено вверх и равно $a_{1}$. Если изменить направление вращения шкива, то при нулевой начальной скорости второй груз будет двигаться вверх с ускорением $a_{2}$. Найдите отношение масс грузов.
Решение:
Отношение сил натяжения верёвки на свободных участках остаётся неизменным, пока верёвка проскальзывает по шкиву. Это утверждение можно доказать, проведя такой мысленный эксперимент: перекинем через шкив вторую верёвку с такими же грузами, и для неё отношение сил натяжения будет тем же самым. Мысленно совмещая соответствующие грузы и две верёвки, получим систему с вдвое большими грузами, вдвое большими силами натяжения и прежним отношением этих сил. Ясно, что пропорционально уменьшая и увеличивая массы грузов, можно получить любую величину силы $T_{1}$ на одном из свободных участков верёвки, и её отношение к силе натяжения $T_{2}$ на другом участке останется прежним. Обозначим это отношение символом $y$. (Заметим, что по формуле Эйлера $y = e^{ \mu \pi}$, где $\mu$ — коэффициент трения верёвки о шкив, но это для решения задачи знать не обязательно!) Составим динамические уравнения движения грузов:
$\begin{cases} T_{1} = yT_{2}, & \\ M_{1}a_{1} = T_{1} - M_{1}g, & \\ M_{2}a_{1} = M_{2}g - T_{2}, & \end{cases}$
$\begin{cases} T_{2}^{ \prime} = y T_{1}^{ \prime}, & \\ M_{1}a_{2} = M_{1}g - T_{1}^{ \prime}, & \\ M_{2}a_{2} = T_{2}^{ \prime} - M_{2}g. & \end{cases}$
Исключая из уравнений силы натяжения, получаем:
$a_{1} = \frac{M_{2y} -M_{1}}{M_{2y} + M_{1}}g; a_{2} = \frac{M_{1y}-M_{2}}{M_{1y}+M_{2}}g,$ где $a_{1} < g, a_{2} < g$.
Обозначим искомое отношение масс грузов $M_{1}/M_{2}$ символом $x$ и преобразуем последние уравнения:
$\frac{a_{1}}{g} = \frac{y-x}{y+x}; \frac{a_{2}}{g} = \frac{yx-1}{yx+1}$.
Решая совместно эти уравнения, найдём искомое отношение масс грузов:
$x = \frac{M_{1}}{M_{2}} = \sqrt{ \frac{(1 - (a_{1}/g))(1+(a_{2}/g))}{(1 + (a_{1}/g))(1-(a_{2}/g))} }$
Через вращающийся с постоянной угловой скоростью шероховатый шкив переброшена невесомая нерастяжимая верёвка, к концам которой подвешены два груза. В начальный момент времени скорости грузов равны нулю, а ускорение первого груза направлено вверх и равно $a_{1}$. Если изменить направление вращения шкива, то при нулевой начальной скорости второй груз будет двигаться вверх с ускорением $a_{2}$. Найдите отношение масс грузов.
Решение:
Отношение сил натяжения верёвки на свободных участках остаётся неизменным, пока верёвка проскальзывает по шкиву. Это утверждение можно доказать, проведя такой мысленный эксперимент: перекинем через шкив вторую верёвку с такими же грузами, и для неё отношение сил натяжения будет тем же самым. Мысленно совмещая соответствующие грузы и две верёвки, получим систему с вдвое большими грузами, вдвое большими силами натяжения и прежним отношением этих сил. Ясно, что пропорционально уменьшая и увеличивая массы грузов, можно получить любую величину силы $T_{1}$ на одном из свободных участков верёвки, и её отношение к силе натяжения $T_{2}$ на другом участке останется прежним. Обозначим это отношение символом $y$. (Заметим, что по формуле Эйлера $y = e^{ \mu \pi}$, где $\mu$ — коэффициент трения верёвки о шкив, но это для решения задачи знать не обязательно!) Составим динамические уравнения движения грузов:
$\begin{cases} T_{1} = yT_{2}, & \\ M_{1}a_{1} = T_{1} - M_{1}g, & \\ M_{2}a_{1} = M_{2}g - T_{2}, & \end{cases}$
$\begin{cases} T_{2}^{ \prime} = y T_{1}^{ \prime}, & \\ M_{1}a_{2} = M_{1}g - T_{1}^{ \prime}, & \\ M_{2}a_{2} = T_{2}^{ \prime} - M_{2}g. & \end{cases}$
Исключая из уравнений силы натяжения, получаем:
$a_{1} = \frac{M_{2y} -M_{1}}{M_{2y} + M_{1}}g; a_{2} = \frac{M_{1y}-M_{2}}{M_{1y}+M_{2}}g,$ где $a_{1} < g, a_{2} < g$.
Обозначим искомое отношение масс грузов $M_{1}/M_{2}$ символом $x$ и преобразуем последние уравнения:
$\frac{a_{1}}{g} = \frac{y-x}{y+x}; \frac{a_{2}}{g} = \frac{yx-1}{yx+1}$.
Решая совместно эти уравнения, найдём искомое отношение масс грузов:
$x = \frac{M_{1}}{M_{2}} = \sqrt{ \frac{(1 - (a_{1}/g))(1+(a_{2}/g))}{(1 + (a_{1}/g))(1-(a_{2}/g))} }$
