ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-10-13   
Экран находится на расстоянии $a$ см от горящей свечи. Помещая между свечой и экраном собирающую линзу, можно получить резкое изображение свечи на экране при двух положениях линзы, отстоящих друг от друга на $b$ см. Доказать, что в этом случае $F = \frac{a^{2} - b^{2} }{4a}$, a $k = \left ( \frac{a - b}{a + b} \right )^{2}$, где $F$ - главное фокусное расстояние линзы, $k$ - отношение высот изображений пламени при двух положениях линзы.


Решение:



Введем обозначения (рис.): $AD = a; BC = b; AB = d_{1}; BD = f_{1}; AC = d_{2}; CD = f_{2}$. Докажем, что $d_{1} = f_{2}$, a $f_{1} = d_{2}$. Из формулы линзы $F = \frac{df}{d + f}$ получаем

$\frac{d_{1}f_{1} }{d_{1} + f_{1} } = \frac{d_{2}f_{2} }{d_{2} + f_{2} }$,

но $\begin{cases} d_{1} + f_{1} + a \\ d_{2} + f_{2} = a, \end{cases}$

значит $\begin{cases} d_{1} + f_{2} = d_{2} + f_{1} \\ d_{1}f_{1} = d_{2}f_{2}, \end{cases}$

откуда $f_{2} = d_{1}$, a $f_{1} = d_{2}$.

Так как $F = \frac{f_{1}d_{1} }{f_{1} + d_{1} }$, а $d_{1} = \frac{a - b}{2}, f_{1} = \frac{a + b}{2}$, то

$F = \frac{(a + b)(a - b)}{4 \left ( \frac{a - b}{2} + \frac{a + b}{2} \right ) } = \frac{a^{2} - b^{2} }{4a}$.

Увеличение $k = \frac{k_{2} }{k_{1} } = \frac{ \frac{f_{2} }{d_{2} } }{ \frac{f_{1} }{d_{1} } } = \frac{f_{2}d_{1} }{f_{1}d_{2} } = \frac{(a - b)^{2} }{(a + b)^{2} } = \left ( \frac{a - b}{a + b} \right )^{2}$