Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 943
2016-09-17 
На лежащий на горизонтальном столе клин массой $m$ с углом при основании $\alpha = 45^{ \circ}$ аккуратно положили гладкий брусок массой $1000m$. С какой силой скользящий вдоль клина брусок давит на клин, если коэффициент трения между клином и столом равен $\mu = 0,2$?
Решение:
Направим координатную ось $X$ вдоль плоскости стола в сторону, противоположную направлению движения клина, а ось $Y$ — вертикально вверх (см. рис.). Обозначим через $N_{1}$ силу, с которой клин давит на брусок, $N_{2}$ — силу, с которой стол давит на клин, $A$ — ускорение клина, $a$ — бруска, $M = 1000m$ — массу бруска, $F_{тр}$ — силу трения. Тогда с учётом того, что угол при основании клина $\alpha = 45^{ \circ}$, уравнения движения клина и
бруска в проекциях на координатные оси будут иметь вид:
$mA_{x} = - \frac{N_{1} \sqrt{2}}{2} + F_{тр}, N_{2} = mg + \frac{N_{1} \sqrt{2}}{2}$,
$Ma_{x} = \frac{N_{1} \sqrt{2}}{2}, Ma_{y} = - Mg + \frac{N_{1} \sqrt{2}}{2}$.
Далее учтём, что в силу малой величины коэффициента трения между клином и столом $\mu = 0,2$ и большой разницы в массах бруска $M$ и клина $m$, последний не сможет оставаться на месте и будет выскальзывать из под бруска. При этом на клин со стороны стола будет действовать сила трения скольжения $F_{тр} = \mu N_{2}$.
Кроме того, имеется ещё уравнение кинематической связи, которое проще всего получить следующим образом. Пусть во время движения бруска и клина координаты бруска изменились на величины $\Delta x > 0$ и $\Delta y < 0$, а координата клина — на $\Delta X < 0$, причём брусок остался на поверхности клина. Тогда из рисунка видно, что $\Delta y = ( \Delta X — \Delta x) tg \alpha$, и с учётом того, что в нашем случае $tg \alpha = 1$, получаем
$a_{1} = A_{x} - a_{x}$.
Решая полученную систему уравнений, найдём искомую силу давления $N_{1}$:
$N_{1} = \frac{ \sqrt{2} mMg (1 + \mu)}{2m + M(1 - \mu)}$.
Так как $M = 1000m \gg m$, то это выражение можно упростить:
$N_{1} = \frac{ \sqrt{2} mMg (1 + \mu)}{2m + M(1- \mu)} = \frac{ \sqrt{2} mg(1+ \mu)}{ \frac{2m}{M} + 1 - \mu} \approx \sqrt{2} mg \frac{}{} \approx 2,1mg$.
На лежащий на горизонтальном столе клин массой $m$ с углом при основании $\alpha = 45^{ \circ}$ аккуратно положили гладкий брусок массой $1000m$. С какой силой скользящий вдоль клина брусок давит на клин, если коэффициент трения между клином и столом равен $\mu = 0,2$?
Решение:
Направим координатную ось $X$ вдоль плоскости стола в сторону, противоположную направлению движения клина, а ось $Y$ — вертикально вверх (см. рис.). Обозначим через $N_{1}$ силу, с которой клин давит на брусок, $N_{2}$ — силу, с которой стол давит на клин, $A$ — ускорение клина, $a$ — бруска, $M = 1000m$ — массу бруска, $F_{тр}$ — силу трения. Тогда с учётом того, что угол при основании клина $\alpha = 45^{ \circ}$, уравнения движения клина и
бруска в проекциях на координатные оси будут иметь вид:
$mA_{x} = - \frac{N_{1} \sqrt{2}}{2} + F_{тр}, N_{2} = mg + \frac{N_{1} \sqrt{2}}{2}$,
$Ma_{x} = \frac{N_{1} \sqrt{2}}{2}, Ma_{y} = - Mg + \frac{N_{1} \sqrt{2}}{2}$.
Далее учтём, что в силу малой величины коэффициента трения между клином и столом $\mu = 0,2$ и большой разницы в массах бруска $M$ и клина $m$, последний не сможет оставаться на месте и будет выскальзывать из под бруска. При этом на клин со стороны стола будет действовать сила трения скольжения $F_{тр} = \mu N_{2}$.
Кроме того, имеется ещё уравнение кинематической связи, которое проще всего получить следующим образом. Пусть во время движения бруска и клина координаты бруска изменились на величины $\Delta x > 0$ и $\Delta y < 0$, а координата клина — на $\Delta X < 0$, причём брусок остался на поверхности клина. Тогда из рисунка видно, что $\Delta y = ( \Delta X — \Delta x) tg \alpha$, и с учётом того, что в нашем случае $tg \alpha = 1$, получаем
$a_{1} = A_{x} - a_{x}$.
Решая полученную систему уравнений, найдём искомую силу давления $N_{1}$:
$N_{1} = \frac{ \sqrt{2} mMg (1 + \mu)}{2m + M(1 - \mu)}$.
Так как $M = 1000m \gg m$, то это выражение можно упростить:
$N_{1} = \frac{ \sqrt{2} mMg (1 + \mu)}{2m + M(1- \mu)} = \frac{ \sqrt{2} mg(1+ \mu)}{ \frac{2m}{M} + 1 - \mu} \approx \sqrt{2} mg \frac{}{} \approx 2,1mg$.
