Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 942
2016-09-17 
На горизонтальном обледеневшем участке дороги лежит длинная доска массой $M$. На эту доску мальчик поставил радиоуправляемую модель автомобиля массой $m$, а затем, подав радиосигнал, включил двигатель автомобиля. Зная, что автомобиль движется вдоль доски с постоянной относительно неё скоростью $v$ и что коэффициент трения доски о лёд равен $\mu$, найдите зависимость скорости автомобиля относительно дороги от времени.
Решение:
Направим ось $X$ вдоль доски в направлении движения автомобиля и будем отсчитывать время от момента старта автомобиля. Пусть $v_{д}(t)$ и $v_{а}(t)$ — скорости доски и автомобиля относительно дороги в момент времени $t$. Будем считать, что $v_{д}(t)$ и $v_{а}(t)$ являются алгебраическими величинами, то есть могут принимать как положительные, так и отрицательные значения — это избавит нас от необходимости следить за знаками при написании формул. Тогда из закона сложения скоростей имеем:
$v_{а}(t) = v_{д}(t) + v$, (1)
причём скорость $v$ по условию задачи постоянна и положительна.
Рассмотрим движение доски. Пусть в момент старта автомобиля доска приобрела скорость и относительно дороги. Тогда автомобиль в этот момент времени, согласно (1), имел относительно дороги скорость $u + v$. Применяя для указанного момента времени закон сохранения импульса, получаем $m(u + v) + Mu = 0$, откуда $u = - \frac{mv}{m + M}$. Знак «минус» в выражении для $u$ показывает, что в начальный момент времени доска начала двигаться в направлении, противоположном направлению движения автомобиля.
На скользящую по дороге доску действует направленная вдоль оси $X$ сила трения $F = \mu (m + M)g$. Значит, доска и автомобиль движутся с постоянным положительным ускорением $a = \frac{F}{m+M} = \mu g$.
Зависимость скорости движения доски относительно дороги от времени определяется законом
$v_{д}(t) = u + at = - \frac{mv}{m+M} + \mu gt$.
Из этой формулы следует, что скорость доски относительно дороги с течением времени будет уменьшаться по модулю, и в конце концов доска остановится. Это произойдет через время $\tau = \frac{mv}{ \mu (m+M)g}$ после старта автомобиля. До остановки доски, то есть при $0 \leq t \leq \tau$, автомобиль будет двигаться относительно дороги с переменной скоростью, зависимость которой от времени можно найти, используя (1):
$v_{а}(t) = v_{д}(t) + v = - \frac{mv}{m+M} + \mu gt + v = \frac{Mv}{m+M} + \mu gt$.
Понятно, что после остановки доски, при $t > \tau$, скорость движения автомобиля относительно дороги будет постоянна и равна $v$.
На горизонтальном обледеневшем участке дороги лежит длинная доска массой $M$. На эту доску мальчик поставил радиоуправляемую модель автомобиля массой $m$, а затем, подав радиосигнал, включил двигатель автомобиля. Зная, что автомобиль движется вдоль доски с постоянной относительно неё скоростью $v$ и что коэффициент трения доски о лёд равен $\mu$, найдите зависимость скорости автомобиля относительно дороги от времени.
Решение:
Направим ось $X$ вдоль доски в направлении движения автомобиля и будем отсчитывать время от момента старта автомобиля. Пусть $v_{д}(t)$ и $v_{а}(t)$ — скорости доски и автомобиля относительно дороги в момент времени $t$. Будем считать, что $v_{д}(t)$ и $v_{а}(t)$ являются алгебраическими величинами, то есть могут принимать как положительные, так и отрицательные значения — это избавит нас от необходимости следить за знаками при написании формул. Тогда из закона сложения скоростей имеем:
$v_{а}(t) = v_{д}(t) + v$, (1)
причём скорость $v$ по условию задачи постоянна и положительна.
Рассмотрим движение доски. Пусть в момент старта автомобиля доска приобрела скорость и относительно дороги. Тогда автомобиль в этот момент времени, согласно (1), имел относительно дороги скорость $u + v$. Применяя для указанного момента времени закон сохранения импульса, получаем $m(u + v) + Mu = 0$, откуда $u = - \frac{mv}{m + M}$. Знак «минус» в выражении для $u$ показывает, что в начальный момент времени доска начала двигаться в направлении, противоположном направлению движения автомобиля.
На скользящую по дороге доску действует направленная вдоль оси $X$ сила трения $F = \mu (m + M)g$. Значит, доска и автомобиль движутся с постоянным положительным ускорением $a = \frac{F}{m+M} = \mu g$.
Зависимость скорости движения доски относительно дороги от времени определяется законом
$v_{д}(t) = u + at = - \frac{mv}{m+M} + \mu gt$.
Из этой формулы следует, что скорость доски относительно дороги с течением времени будет уменьшаться по модулю, и в конце концов доска остановится. Это произойдет через время $\tau = \frac{mv}{ \mu (m+M)g}$ после старта автомобиля. До остановки доски, то есть при $0 \leq t \leq \tau$, автомобиль будет двигаться относительно дороги с переменной скоростью, зависимость которой от времени можно найти, используя (1):
$v_{а}(t) = v_{д}(t) + v = - \frac{mv}{m+M} + \mu gt + v = \frac{Mv}{m+M} + \mu gt$.
Понятно, что после остановки доски, при $t > \tau$, скорость движения автомобиля относительно дороги будет постоянна и равна $v$.
