Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9410
2018-10-13 
На участке с сопротивлением $R$ требуется получить максимальный ток. В распоряжении имеется $n$ одинаковых источников тока с электродвижущими силами $E_{1}$ и внутренними сопротивлениями $r_{1}$. При этом $nr_{1} > R > r$. Как для этого необходимо соединить источники тока в батарее?
Решение:
При последовательном соединении источников тока величина тока $I_{1} = \frac{nE_{1} }{R + nr_{1} }$, при параллельном - $I_{2} = \frac{E_{1} }{R + \frac{r_{1} }{n} }$, при смешанном - $I_{3} = \frac{mE_{1} }{R + \frac{m^{2}r_{1} }{n} }$ ($m$ - число источников в группе, соединенных последовательно). Сравним токи, возникающие при последовательном и параллельном соединениях. Предположим, что $I_{2} > I_{1}$, тогда
$\frac{nE_{1}}{nR + r_{1}} > \frac{nE_{1} }{R + nr_{1} }$;
$nR + r_{1} < R + nr_{1}; n(R - r_{1} ) < R - r_{1}$.
Так как $R > r_{1}$, то $R - r_{1}$ - число положительное. Сокращая правую и левую части неравенства на $R - r_{1}$ получим $n < 1$. А это противоречит условию задачи, так как число источников больше 1. Значит, наше предположение, что $I_{2} > I_{1}$, неверно;
$I_{1} > I_{2}$.
Сравним величину тока при последовательном соединении источников с величиной тока при смешанном соединении. Предположим, что $I_{1} < I_{3}$, тогда
$\frac{nE_{1} }{R + nr_{1} } < \frac{nE_{1} }{ \frac{n}{m} R + mr_{1} }; R + nr_{1} > \frac{n}{m} R + mr_{1}$;
$R \left ( 1 - \frac{n}{m} \right ) > r_{1} (m -n); R \frac{m - n}{m} > r_{1}(m - n)$.
Так как $n > m$, то, сокращая обе части равенства на $m - n$, получим $\frac{R}{m} < r_{1}$. При этом условии $I_{3} > I_{1}$, следовательно, $I_{3} > I_{2}$. Элементы выгоднее соединить смешанно так, чтобы $\frac{R}{m}$ было меньше $r_{1}$.
Если $\frac{R}{m} < r_{1}$, то $I_{3} > I_{1} > I_{2}$; если $\frac{R}{m} = r_{1}$, то $I_{3} = I_{1}$; если $\frac{R}{m} > r_{1}$, то $I_{1} > I_{3}$.
На участке с сопротивлением $R$ требуется получить максимальный ток. В распоряжении имеется $n$ одинаковых источников тока с электродвижущими силами $E_{1}$ и внутренними сопротивлениями $r_{1}$. При этом $nr_{1} > R > r$. Как для этого необходимо соединить источники тока в батарее?
Решение:
При последовательном соединении источников тока величина тока $I_{1} = \frac{nE_{1} }{R + nr_{1} }$, при параллельном - $I_{2} = \frac{E_{1} }{R + \frac{r_{1} }{n} }$, при смешанном - $I_{3} = \frac{mE_{1} }{R + \frac{m^{2}r_{1} }{n} }$ ($m$ - число источников в группе, соединенных последовательно). Сравним токи, возникающие при последовательном и параллельном соединениях. Предположим, что $I_{2} > I_{1}$, тогда
$\frac{nE_{1}}{nR + r_{1}} > \frac{nE_{1} }{R + nr_{1} }$;
$nR + r_{1} < R + nr_{1}; n(R - r_{1} ) < R - r_{1}$.
Так как $R > r_{1}$, то $R - r_{1}$ - число положительное. Сокращая правую и левую части неравенства на $R - r_{1}$ получим $n < 1$. А это противоречит условию задачи, так как число источников больше 1. Значит, наше предположение, что $I_{2} > I_{1}$, неверно;
$I_{1} > I_{2}$.
Сравним величину тока при последовательном соединении источников с величиной тока при смешанном соединении. Предположим, что $I_{1} < I_{3}$, тогда
$\frac{nE_{1} }{R + nr_{1} } < \frac{nE_{1} }{ \frac{n}{m} R + mr_{1} }; R + nr_{1} > \frac{n}{m} R + mr_{1}$;
$R \left ( 1 - \frac{n}{m} \right ) > r_{1} (m -n); R \frac{m - n}{m} > r_{1}(m - n)$.
Так как $n > m$, то, сокращая обе части равенства на $m - n$, получим $\frac{R}{m} < r_{1}$. При этом условии $I_{3} > I_{1}$, следовательно, $I_{3} > I_{2}$. Элементы выгоднее соединить смешанно так, чтобы $\frac{R}{m}$ было меньше $r_{1}$.
Если $\frac{R}{m} < r_{1}$, то $I_{3} > I_{1} > I_{2}$; если $\frac{R}{m} = r_{1}$, то $I_{3} = I_{1}$; если $\frac{R}{m} > r_{1}$, то $I_{1} > I_{3}$.
