Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9382
2018-10-13 
Канал в капиллярной трубке имеет коническую форму. Диаметры его $d_{1} = 1 мм$ и $d_{2} = 2 мм$. Длина трубки 10 см. На какую высоту поднимется вода в трубке, если ее опустить на небольшую глубину в воду: а) узким концом; б) широким концом? $t = 20^{ \circ} С$.
Решение:
Рассмотрим случай, когда конический капилляр погружен в жидкость широким концом (рис. а). Тогда высота подъема воды $h_{1} = \frac{2 \alpha}{ \rho gr}$, где $r$ - радиус капилляра на уровне жидкости в нем. Выразим $r$ через $h_{1}$. Для этого достроим усеченный конус до полного конуса. Определим $H_{1}$.
$\frac{H_{1} }{r_{1} } = \frac{H_{1} + H }{r_{2} }; H_{1}r_{2} = H_{1}r_{1} + Hr_{1}; H_{1} = \frac{Hr_{1} }{r_{2} - r_{1} }; H_{1} = 10 см$.
Рассматривая подобные треугольники, можно написать еще одно соотношение: $\frac{H_{1} }{r_{1} } = \frac{H_{1} + H - h_{1} }{r }; H_{1}r = (H_{1} + H - h_{1} )r_{1}; r = \frac{H_{1} + H - h_{1} }{H_{1} } r_{1} $.
Подставив значения величин, найдем $r = 0,01 - 0,005 h_{1}$.
Определим $h_{1}$. $h_{1} = \frac{2 \alpha}{ \rho g (0,01 - 0,005h_{1} ) }$.
Решая данное уравнение, получим два значения для $h_{1}: h_{1}^{ \prime} = 18,4 см; h_{1}^{ \prime \prime} = 1,6 см$.
Первый ответ не соответствует условию, значит, высота подъема воды $h_{1} = 1,6 см$.
Рассмотрим случай, когда капилляр опущен в жидкость узким концом (рис. б).
$H_{1} = \frac{Hr_{1} }{r_{2} - r_{1} } = 10 см; h_{2} = \frac{2 \alpha}{ \rho gr}; \frac{H_{1} }{r_{1} } = \frac{H_{1} + h_{2} }{r}$;
$H_{1}r = (H_{1} + h_{2} )r_{1}; r = \frac{(H_{1} + h_{2} ) r_{1} }{H_{1} }$;
$r = 0,05 + 0,005h_{2}; h_{2} = \frac{2 \alpha}{ \rho g (0,05 + 0,005h_{2} ) }$.
Решая данное уравнение, получим два значения для $h_{2}: h_{2}^{ \prime} = - 12,4 см; h_{2}^{ \prime \prime} = 2,4 см$.
Вода поднимается на высоту $h_{2} = 2,4 см$.
Канал в капиллярной трубке имеет коническую форму. Диаметры его $d_{1} = 1 мм$ и $d_{2} = 2 мм$. Длина трубки 10 см. На какую высоту поднимется вода в трубке, если ее опустить на небольшую глубину в воду: а) узким концом; б) широким концом? $t = 20^{ \circ} С$.
Решение:
Рассмотрим случай, когда конический капилляр погружен в жидкость широким концом (рис. а). Тогда высота подъема воды $h_{1} = \frac{2 \alpha}{ \rho gr}$, где $r$ - радиус капилляра на уровне жидкости в нем. Выразим $r$ через $h_{1}$. Для этого достроим усеченный конус до полного конуса. Определим $H_{1}$.
$\frac{H_{1} }{r_{1} } = \frac{H_{1} + H }{r_{2} }; H_{1}r_{2} = H_{1}r_{1} + Hr_{1}; H_{1} = \frac{Hr_{1} }{r_{2} - r_{1} }; H_{1} = 10 см$.
Рассматривая подобные треугольники, можно написать еще одно соотношение: $\frac{H_{1} }{r_{1} } = \frac{H_{1} + H - h_{1} }{r }; H_{1}r = (H_{1} + H - h_{1} )r_{1}; r = \frac{H_{1} + H - h_{1} }{H_{1} } r_{1} $.
Подставив значения величин, найдем $r = 0,01 - 0,005 h_{1}$.
Определим $h_{1}$. $h_{1} = \frac{2 \alpha}{ \rho g (0,01 - 0,005h_{1} ) }$.
Решая данное уравнение, получим два значения для $h_{1}: h_{1}^{ \prime} = 18,4 см; h_{1}^{ \prime \prime} = 1,6 см$.
Первый ответ не соответствует условию, значит, высота подъема воды $h_{1} = 1,6 см$.
Рассмотрим случай, когда капилляр опущен в жидкость узким концом (рис. б).
$H_{1} = \frac{Hr_{1} }{r_{2} - r_{1} } = 10 см; h_{2} = \frac{2 \alpha}{ \rho gr}; \frac{H_{1} }{r_{1} } = \frac{H_{1} + h_{2} }{r}$;
$H_{1}r = (H_{1} + h_{2} )r_{1}; r = \frac{(H_{1} + h_{2} ) r_{1} }{H_{1} }$;
$r = 0,05 + 0,005h_{2}; h_{2} = \frac{2 \alpha}{ \rho g (0,05 + 0,005h_{2} ) }$.
Решая данное уравнение, получим два значения для $h_{2}: h_{2}^{ \prime} = - 12,4 см; h_{2}^{ \prime \prime} = 2,4 см$.
Вода поднимается на высоту $h_{2} = 2,4 см$.
