Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 937
2016-09-17 
Найдите ускорение груза массой $m_{1}$ в системе, изображённой на рисунке. Блоки невесомы, нить невесома, нерастяжима и не проскальзывает по верхнему двухступенчатому блоку с радиусами $r$ и $R$. Один конец нити закреплён на этом блоке, к другому концу прикреплён груз массой $m_{2}$. Участки нити, не лежащие на блоках, вертикальны, трение в осях блоков и о воздух отсутствует. Ускорение свободного падения равно $g$.
Решение:
Обозначим силу натяжения подвеса, на котором закреплён груз $m_{1}$, через $F$ (см. рис.). Тогда сила натяжения нити на вертикальных участках по обе стороны от нижнего блока равна $F/2$ — из-за невесомости этого блока и нити, а также из-за отсутствия трения в оси блока и о воздух. Силу натяжения нити, действующую на подвешенный к ней груз $m_{2}$, обозначим через $f$. Так как двухступенчатый блок невесом и трение в его оси и о воздух отсутствует, то сумма
моментов сил натяжения нити, действующих на него, равна нулю: $\frac{F}{2} R = \frac{F}{2} r + fR$. Отсюда $f = \frac{R-r}{2R} F$.
Поскольку система из таких блоков не даёт выигрыша в работе, то при смещении нижнего груза на расстояние $\Delta x_{1}$ например, вниз, верхний груз сместится на расстояние $\Delta x_{2}$ вверх, и будет справедливо соотношение: $F \Delta x_{1} + f \Delta x_{2} = 0$. Отсюда с учётом найденной связи сил $F$ и $f$, получаем: $\Delta x_{1} + \frac{R - r}{2R} \Delta x_{2} = 0$. Таким образом, связь проекций $a_{1}$ и $a_{2}$ ускорений грузов на вертикальную
ось (уравнение кинематической связи) имеет вид:
$a_{1} + \frac{R - r}{2R} a_{2} = 0$.
Запишем уравнения движения грузов в проекциях на ту же ось:
$m_{1}a_{1} = m_{1}g - F, m_{2}a_{2} = m_{2}g - f$.
Для решения получившейся системы подставим во второе уравнение выражения для $a_{2}$ и $f$:
$m_{1}a_{1} = m_{1}g - F, - m_{2} \frac{2Ra_{1}}{R-r} = m_{2}g - \frac{R-r}{2R} F$.
Умножим второе уравнение на $- \frac{2R}{R-r}$ и сложим результат с первым уравнением. В итоге получим:
$a_{1} \left ( m_{1} + m_{2} \left ( \frac{2R}{R-r} \right )^{2} \right ) = m_{1}g - m_{2}g \cdot \frac{2R}{R-r}$.
Отсюда
$a_{1} = \frac{m_{1} - m_{2} \cdot \frac{2R}{R-r}}{ m_{1} + m_{2} \left ( \frac{2R}{R-r} \right )^{2} } \cdot g = \frac{(m_{1}(R-r) - 2m_{2}R) \cdot (R-r)}{m_{1} (R-r)^{2} + 4m_{2}R^{2}} g$.
Найдите ускорение груза массой $m_{1}$ в системе, изображённой на рисунке. Блоки невесомы, нить невесома, нерастяжима и не проскальзывает по верхнему двухступенчатому блоку с радиусами $r$ и $R$. Один конец нити закреплён на этом блоке, к другому концу прикреплён груз массой $m_{2}$. Участки нити, не лежащие на блоках, вертикальны, трение в осях блоков и о воздух отсутствует. Ускорение свободного падения равно $g$.
Решение:
Обозначим силу натяжения подвеса, на котором закреплён груз $m_{1}$, через $F$ (см. рис.). Тогда сила натяжения нити на вертикальных участках по обе стороны от нижнего блока равна $F/2$ — из-за невесомости этого блока и нити, а также из-за отсутствия трения в оси блока и о воздух. Силу натяжения нити, действующую на подвешенный к ней груз $m_{2}$, обозначим через $f$. Так как двухступенчатый блок невесом и трение в его оси и о воздух отсутствует, то сумма
моментов сил натяжения нити, действующих на него, равна нулю: $\frac{F}{2} R = \frac{F}{2} r + fR$. Отсюда $f = \frac{R-r}{2R} F$.
Поскольку система из таких блоков не даёт выигрыша в работе, то при смещении нижнего груза на расстояние $\Delta x_{1}$ например, вниз, верхний груз сместится на расстояние $\Delta x_{2}$ вверх, и будет справедливо соотношение: $F \Delta x_{1} + f \Delta x_{2} = 0$. Отсюда с учётом найденной связи сил $F$ и $f$, получаем: $\Delta x_{1} + \frac{R - r}{2R} \Delta x_{2} = 0$. Таким образом, связь проекций $a_{1}$ и $a_{2}$ ускорений грузов на вертикальную
ось (уравнение кинематической связи) имеет вид:
$a_{1} + \frac{R - r}{2R} a_{2} = 0$.
Запишем уравнения движения грузов в проекциях на ту же ось:
$m_{1}a_{1} = m_{1}g - F, m_{2}a_{2} = m_{2}g - f$.
Для решения получившейся системы подставим во второе уравнение выражения для $a_{2}$ и $f$:
$m_{1}a_{1} = m_{1}g - F, - m_{2} \frac{2Ra_{1}}{R-r} = m_{2}g - \frac{R-r}{2R} F$.
Умножим второе уравнение на $- \frac{2R}{R-r}$ и сложим результат с первым уравнением. В итоге получим:
$a_{1} \left ( m_{1} + m_{2} \left ( \frac{2R}{R-r} \right )^{2} \right ) = m_{1}g - m_{2}g \cdot \frac{2R}{R-r}$.
Отсюда
$a_{1} = \frac{m_{1} - m_{2} \cdot \frac{2R}{R-r}}{ m_{1} + m_{2} \left ( \frac{2R}{R-r} \right )^{2} } \cdot g = \frac{(m_{1}(R-r) - 2m_{2}R) \cdot (R-r)}{m_{1} (R-r)^{2} + 4m_{2}R^{2}} g$.
