2016-09-17
В системе, показанной на рисунке, отрезки нитей, не лежащие на блоках, вертикальны. Найдите ускорение груза массой $m_{2}$, подвешенного на нити к лёгкой оси подвижного блока. Масса оси другого подвижного блока равна $m$, масса первого груза равна $m_{1}$. Трением и массой всех блоков пренебречь. Все нити невесомые и нерастяжимые. Ускорение свободного падения равно $g$.
Решение:
Направим координатную ось $X$ вертикально вниз (см. рис.). Тогда, если координаты тяжёлой оси блока, первого груза и второго груза равны $x, x_{1}$ и $x_{2}$ соответственно, условие нерастяжимости нити имеет вид:
$x_{1} + 2x_{2} — x = L = const$.
Это соотношение справедливо для любых двух близких моментов времени $t$ и $t + \Delta t$, откуда следует связь изменений координат за время $\Delta t$:
$\Delta x_{1} + 2 \Delta x_{2} - \Delta x = 0$.
Деля полученное уравнение на $\Delta t$, находим связь скоростей грузов и блока:
$v_{1} + 2v_{2} — v = 0$.
Повторяя описанную процедуру, получаем соотношение, связывающее проекции ускорений первого груза, второго груза и тяжёлой оси блока на ось $X$:
$a_{1} + 2a_{2} — a = 0$.
Обозначим через $T$ силу натяжения нити, прикреплённой к первому грузу и тяжёлой оси блока (сила натяжения постоянна вдоль нити, так как нить невесома). Тогда уравнения движения грузов и оси блока, спроецированные на координатную ось $X$, имеют вид:
$m_{1}a_{1} = m_{1}g - T, m_{2}a_{2} = m_{2}g - 2T, ma = mg + T$.
Решая совместно четыре последних уравнения, получаем:
$a_{2} = \frac{(m+m_{1})m_{2}}{m(4m_{1}+m_{2}) + m_{1}m_{2}} g$.