2016-09-17
В системе, изображённой на рисунке, нить невесома и нерастяжима, блоки невесомы, трения нет. Вначале нить удерживают так, что груз $m$ висит неподвижно, а груз $2m$ касается пола. Затем конец нити начинают тянуть вверх с постоянной скоростью $v$. Как при этом будут двигаться оба груза? Ускорение свободного падения равно $g$.
Решение:
Из условия задачи следует, что сила натяжения нити $F$ везде вдоль нити одна и та же. До начала движения, очевидно, эта сила равна $F_{0}= mg$, а груз $2m$ не давит на пол. В начале движения сила увеличивается на некоторую величину $\Delta F$ на короткое время $\Delta t$, за счёт чего грузы начинают двигаться вверх со скоростями $v_{1}$ и $v_{2}$. По закону изменения импульса можно записать:
$\Delta F \cdot \Delta t = mv_{1}; 2 \Delta F \cdot \Delta t = 2 mv_{2}$,
откуда следует, что $v_{1} = v_{2}$. В дальнейшем эти скорости будут оставаться постоянными, а сила натяжения снова станет равной $F_{0} = mg$. Поскольку конец нити вытягивают со скоростью $v$, а длина нити $L$, можно записать для двух моментов времени выражение для длины нити через координаты блоков и грузов (см. рис.):
$x_{к} - x_{2} + x_{0} - x_{2} + x_{0} - x_{1} 2 \pi R =L$;
$(x_{к} + vt) - (x_{2}+v_{1}) + x_{0} - (x_{2} - v_{1}t) + x_{0} - (x_{1}+v_{1}t) + 2 \pi R = L$. (1)
Вычитая из второго уравнения первое, получаем: $vt — 3v_{1}t = 0$, или $v_{1} = v_{2} = v/3$.
Задача может быть решена и другим способом, путём рассмотрения уравнений движения грузов на этапе их разгона от состояния покоя до конечной скорости. Обозначая ускорения грузов $m$ и $2m$ через $a_{1}$ и $a_{2}$ соответственно, получаем уравнения движения: $F — mg = ma_{1}; 2F — 2mg = 2ma_{2}$. Отсюда $a_{1} = a_{2}$.
Из уравнения кинематической (1) следует, что $x_{к} — 2x_{2} — x_{1} = const$, следовательно, в каждый момент времени скорости грузов $v_{1}(t), v_{2}(t)$ и конца нити $v_{к}(t)$ связаны соотношением $v_{к}(t) = 2v_{2}(t) + v_{1}(t)$, а связь соответствующих ускорений имеет вид: $a_{к} = 2a_{2} + a_{1}$.
С учётом равенства ускорений грузов получаем $a_{1} = a_{2} = a_{к}/3$. Поскольку ускорения грузов в каждый момент времени одинаковы, а в начальный момент времени грузы покоятся, то скорости, которые приобретут грузы, также будут одинаковы и равны $v_{1} = v_{2} = v/3$.