Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 934
2016-09-17 
В системе, изображённой на рисунке, нить невесома и нерастяжима, блоки невесомы, трение отсутствует. Массы грузов равны $m_{1}$ и $m_{2}$. Найдите ускорение оси блока $A$, к которой приложена в вертикальном направлении сила $F$. Ускорение свободного падения равно $g$.
Решение:
Введём прямоугольную систему координат с началом в точке крепления нити к потолку, направим координатную ось $X$ вниз и запишем уравнения движения грузов $m_{1}, m_{2}$ и блока $A$ в проекциях на эту ось (см. рис.). Учтём при этом, что ввиду невесомости нити и блоков сила натяжения $T$ по всей её длине одинакова.
$m_{1}a_{1} = m_{1}g - 2T$,
$m_{2}a_{2} = m_{2}g - T$,
$F = 2T$.
Здесь $a_{1}$ и $a_{2}$ — ускорения грузов $m_{1}$ и $m_{2}$ соответственно.
Для того, чтобы решить данную систему, необходимо получить уравнение, связывающее эти ускорения — уравнение кинематической связи. Это можно сделать, воспользовавшись нерастяжимостью нити. Обозначим координаты оси нижнего блока, груза $m_{2}$ и оси верхнего блока через $x_{1}, x_{2}$ и $x_{A}$ соответственно. Тогда длина нити $L$ выразится следующим образом:
$L = x_{1} + \pi R_{1} + (x_{1} - x_{A}) + \pi R_{2} + (x_{2} - x_{A})$.
Отметим, что радиусы нижнего и верхнего блоков $R_{1}$ и $R_{2}$ являются постоянными величинами. Данное соотношение справедливо для любого момента времени.
Пусть за малый промежуток времени $\Delta t$ координаты оси нижнего блока, груза $m_{2}$ и оси верхнего блока изменились и стали равны $x_{1}^{ \prime}, x_{2}^{ \prime}$ и $x_{A}^{ \prime}$ соответственно. Тогда можно записать:
$L = x_{1}^{ \prime} + \pi R_{1} + (x_{1}^{ \prime} — x_{A}^{ \prime}) + \pi R_{2} + (x_{2}^{ \prime} — x_{A}^{ \prime})$.
Вычитая друг из друга два последних уравнения, деля разность на $\Delta t$ и учитывая, что отношение $(x^{ \prime} — x)/ \Delta t$ представляет собой скорость, найдём связь между скоростями оси нижнего блока, груза $m_{2}$ и оси верхнего блока: $2v_{1} + v_{2} = 2v_{A}$. Рассматривая аналогичным образом малые изменения скоростей за время $\Delta t$, можно убедиться, что ускорения $a_{1}$ и $a_{2}$ и $a_{A}$ связаны аналогичным соотношением:
$2a_{1} + a_{2} = 2a_{A}$.
Это и есть уравнение кинематической связи.
Решая уравнения движения с учётом полученного уравнения кинематической связи, найдём ускорение оси верхнего блока:
$a_{A} = \frac{3}{2}g - \frac{m_{1}+4m_{2}}{4m_{1}m_{2}}F$.
Отметим, что при некоторых соотношениях величин $m_{1}, m_{2}$ и $F$ (в частности, при очень малых $F$) ускорение точки $A$ может быть больше ускорения свободного падения $g$. Это связано с тем, что блок невесом, и на него действуют силы $F$ и $2T$, равные в сумме нулю, так что его ускорение может быть как меньше, так и больше $g$.
В системе, изображённой на рисунке, нить невесома и нерастяжима, блоки невесомы, трение отсутствует. Массы грузов равны $m_{1}$ и $m_{2}$. Найдите ускорение оси блока $A$, к которой приложена в вертикальном направлении сила $F$. Ускорение свободного падения равно $g$.
Решение:
Введём прямоугольную систему координат с началом в точке крепления нити к потолку, направим координатную ось $X$ вниз и запишем уравнения движения грузов $m_{1}, m_{2}$ и блока $A$ в проекциях на эту ось (см. рис.). Учтём при этом, что ввиду невесомости нити и блоков сила натяжения $T$ по всей её длине одинакова.
$m_{1}a_{1} = m_{1}g - 2T$,
$m_{2}a_{2} = m_{2}g - T$,
$F = 2T$.
Здесь $a_{1}$ и $a_{2}$ — ускорения грузов $m_{1}$ и $m_{2}$ соответственно.
Для того, чтобы решить данную систему, необходимо получить уравнение, связывающее эти ускорения — уравнение кинематической связи. Это можно сделать, воспользовавшись нерастяжимостью нити. Обозначим координаты оси нижнего блока, груза $m_{2}$ и оси верхнего блока через $x_{1}, x_{2}$ и $x_{A}$ соответственно. Тогда длина нити $L$ выразится следующим образом:
$L = x_{1} + \pi R_{1} + (x_{1} - x_{A}) + \pi R_{2} + (x_{2} - x_{A})$.
Отметим, что радиусы нижнего и верхнего блоков $R_{1}$ и $R_{2}$ являются постоянными величинами. Данное соотношение справедливо для любого момента времени.
Пусть за малый промежуток времени $\Delta t$ координаты оси нижнего блока, груза $m_{2}$ и оси верхнего блока изменились и стали равны $x_{1}^{ \prime}, x_{2}^{ \prime}$ и $x_{A}^{ \prime}$ соответственно. Тогда можно записать:
$L = x_{1}^{ \prime} + \pi R_{1} + (x_{1}^{ \prime} — x_{A}^{ \prime}) + \pi R_{2} + (x_{2}^{ \prime} — x_{A}^{ \prime})$.
Вычитая друг из друга два последних уравнения, деля разность на $\Delta t$ и учитывая, что отношение $(x^{ \prime} — x)/ \Delta t$ представляет собой скорость, найдём связь между скоростями оси нижнего блока, груза $m_{2}$ и оси верхнего блока: $2v_{1} + v_{2} = 2v_{A}$. Рассматривая аналогичным образом малые изменения скоростей за время $\Delta t$, можно убедиться, что ускорения $a_{1}$ и $a_{2}$ и $a_{A}$ связаны аналогичным соотношением:
$2a_{1} + a_{2} = 2a_{A}$.
Это и есть уравнение кинематической связи.
Решая уравнения движения с учётом полученного уравнения кинематической связи, найдём ускорение оси верхнего блока:
$a_{A} = \frac{3}{2}g - \frac{m_{1}+4m_{2}}{4m_{1}m_{2}}F$.
Отметим, что при некоторых соотношениях величин $m_{1}, m_{2}$ и $F$ (в частности, при очень малых $F$) ускорение точки $A$ может быть больше ускорения свободного падения $g$. Это связано с тем, что блок невесом, и на него действуют силы $F$ и $2T$, равные в сумме нулю, так что его ускорение может быть как меньше, так и больше $g$.
