2016-09-17
В системе, изображённой на рисунке, блоки имеют пренебрежимо малые массы, нить невесомая и нерастяжимая, не лежащие на блоках участки нити горизонтальны. Массы грузов, лежащих на горизонтальной плоскости, одинаковы и равны $M$. Нить тянут за свободный конец в горизонтальном направлении с силой $F$. С каким ускорением движется конец нити, к которому приложена эта сила? Трения нет, движение грузов считайте поступательным.
Решение:
Поскольку нить и блоки невесомые и трения нет, то на левый груз в горизонтальном направлении действует сила (см. рис. 1), равная $3F$ и направленная слева направо, а на правый груз — сила $2F$, направленная справа налево. Направим ось $X$ неподвижной системы координат направо. Тогда проекция ускорения левого груза на ось $X$ будет, очевидно, равна $a_{1} = 3F/M$, а проекция ускорения правого груза $a_{2} = - 2F/M$.
Найдём, как связаны друг с другом ускорения грузов и конца нити, то есть получим уравнение кинематической связи. Для этого обозначим координату оси левого блока в некоторый момент времени $t$ через $x_{1}(t)$, координату оси правого блока — через $x_{2}(t)$, а координату конца нити через $x(t)$. Пусть длина нити равна $L$, радиусы блоков — $r$, расстояние от оси левого блока до левого груза — $x_{0}$. Так как нить нерастяжима, то можно выразить её постоянную длину $L$ через введённые координаты:
$x(t) - x_{1}(t) + \pi r + x_{2}(t) - x_{1}(t) + \pi r + x_{2}(t) - x_{1}(t) + x_{0} = L$.
Отсюда
$x(t) = 3x_{1}(t) - 2x_{2}(t) + L - 2 \pi r - x_{0}$.
Такое же соотношение справедливо также и для момента времени $t + \Delta t$, близкого к моменту $t$:
$x(t + \Delta t) = 3x_{1}(t + \Delta t) - 2x_{2}(t + \Delta t) + L - 2 \pi r - x_{0}$.
Вычитая из второго соотношения первое, найдём связь между перемещениями левого и правого грузов $\Delta x_{1}$ и $\Delta x_{2}$ и смещением конца нити $\Delta x: \Delta x = 3 \Delta x_{1} — 2 \Delta x_{2}$. Деля полученное уравнение на величину промежутка времени $\Delta t$, найдём связь между скоростями грузов и конца нити: $v = Зv_{1} — 2v_{2}$. Это соотношение также справедливо для любых двух близких моментов времени. Поэтому связь между ускорениями грузов может быть найдена аналогично и имеет вид: $a = 3a_{1} — 2a_{2}$. Следует отметить, что ускорение правого груза $a_{2}$ направлено влево, против оси $X$, и поэтому отрицательно.
Таким образом, из нерастяжимости нити следует, что ускорение, с которым движется конец нити, складывается из утроенной величины ускорения левого груза и удвоенной величины ускорения правого груза:
$a = 3a_{1} - 2 a_{2} = 3 \cdot \frac{3F}{M} - 2 \cdot \left ( - \frac{2F}{M} \right ) = \frac{13F}{M}$