2016-09-17
На гладкой горизонтальной плоскости находится клин массой $M$ с углом $45^{ \circ}$ при основании. По его наклонной грани может двигаться без трения небольшое тело массой $m$ (см. рисунок). Чему должна быть равна и куда (вправо или влево) направлена горизонтальная сила, приложенная к клину, чтобы ускорение тела массой $m$ было направлено: (а) вертикально; (б) горизонтально; (в) составляло угол $45^{ \circ}$ с вертикалью? Клин не опрокидывается, ускорение свободного падения равно $g$.
Решение:
рис.1
рис.2
рис.3
На тело массой $m$ действуют сила тяжести $m \vec{g}$ и сила реакции опоры $\vec{N}$ со стороны клина.
(а) Ускорение тела может быть направлено вертикально, только если сила реакции опоры равна нулю (см. рис. 1). При этом величина ускорения тела будет равна $g$, то есть оно будет свободно падать. Для того, чтобы при падении тела оно не касалось клина с углом при основании $45^{ \circ}$, клин должен двигаться вправо с ускорением $A \geq g$. Следовательно, к клину нужно приложить направленную вправо силу $F = MA \geq Mg$.
(б) Как видно из рисунка 2, ускорение тела будет горизонтально, если $N = mg \sqrt{2}$. При этом равнодействующая сил, приложенных к телу, равна $mg$ и направлена влево. Поэтому ускорение тела направлено влево и равно по величине $g$. Для того, чтобы в процессе движения клин давил на тело с необходимой силой $\vec{N}$, он также должен двигаться влево с таким же по величине ускорением $g$. Чтобы сообщить и клину, и телу такое ускорение, к клину необходимо приложить направленную влево силу $F = (m + M)g$.
(в) Для того, чтобы ускорение тела составляло угол $45^{ \circ}$ с вертикалью, сила реакции опоры, как видно из рисунка 3, должна быть по величине равна $N = mg / \sqrt{2}$. При этом, очевидно, клин должен покоиться — в противном случае он выскользнет из-под тела. На клин со стороны тела действует сила $- \vec{N}$ с направленной вправо горизонтальной составляющей, равной по величине $mg/2$. Чтобы её компенсировать, к клину необходимо приложить такую же по величине силу, направленную влево: $F = mg/2$.