Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 929
2016-09-17 
Тело массой $m = 10 кг$ подвешено в лифте при помощи трёх одинаковых лёгких верёвок, натянутых вертикально. Одна из них привязана к потолку лифта, две другие — к полу. Когда лифт неподвижен, натяжение каждой из нижних верёвок составляет $F_{0} = 5 Н$. Лифт начинает двигаться с постоянным ускорением, направленным вверх. Найдите установившуюся силу натяжения верхней верёвки при следующих значениях ускорения лифта: $a_{1} = 1 м/с^{2}, a_{2} = 2 м/с^{2}$. Ускорение свободного падения равно $g = 9,8 м/с^{2}$. Считайте, что сила натяжения верёвки пропорциональна её удлинению.
Решение:
Когда лифт неподвижен, на тело действуют сила тяжести mg, сила натяжения верхней верёвки $F$ и силы натяжения нижних верёвок $F_{0}$. Из условия равновесия получаем:
$F = mg + 2F_{0}$. (1)
При движении лифта с постоянным ускорением $a$, направленным вверх, в установившемся режиме тело движется с тем же ускорением $a$. Поэтому силы натяжения верёвок должны измениться. Из второго закона Ньютона:
$F^{ \prime} - mg - 2F_{0}^{ \prime} = ma$, (2)
где $F^{ \prime}$ и $F_{0}^{ \prime}$ — силы натяжения верхней и нижних верёвок.
Для того, чтобы записать ещё одно недостающее для решения задачи уравнение, учтём, что сила натяжения верёвки зависит от её удлинения $x$ следующим образом: при $x \leq 0$ сила $F = 0$, при $x > 0$ сила $F = kx$, где $k$ — некоторый коэффициент, одинаковый для всех верёвок. Отсюда получаем, что при неподвижном лифте удлинения верхней и нижних верёвок $x$ и $x_{0}$ связаны соотношением:
$ \frac{x}{F} = \frac{x_{0}}{F_{0}} = \frac{1}{k}$.
В лифте, движущемся с направленным вверх ускорением $a$, верхняя верёвка дополнительно растянется на величину $y$, а нижние укоротятся на такую же величину. Таким образом, удлинения верёвок будут равны
$x^{ \prime} = x + y, x_{0}^{ \prime} =x_{0} - y$
Возможны два случая: $x_{0}^{ \prime} > 0$ и $x_{0}^{ \prime} \leq 0$.
В первом случае
$F_{0}^{ \prime} = kx_{0}^{ \prime}, F^{ \prime} = kx^{ \prime}, F_{0}^{ \prime} - F_{0} = - ky, F^{ \prime} - F = ky$.
Вычитая из соотношения (2) соотношение (1), получаем:
$F^{ \prime} - F = ma + 2(F^{ \prime} - F_{0})$,
или $ma = 3ky$, то есть $y = \frac{ma}{3k}$. Отсюда сила натяжения верхней верёвки
$F^{\prime} = F +ky = mg + 2F_{0} + \frac{ma}{3}$,
а силы натяжения нижних верёвок
$F_{0}^{ \prime} = F_{0} - ky = F_{0} - \frac{ma}{3}$.
Указанный случай возможен при $F_{0} - \frac{ma}{3} > 0$, то есть при $a < 3F_{0}/m = 1,5 м/с^{2}$. Этому неравенству соответствует заданное в условии задачи ускорение $a_{1} = 1 м/с^{2}$. Следовательно, при этом ускорении
$F^{ \prime} = m \left ( g + \frac{a_{1}}{3} \right ) + 2F_{0} \approx 111 Н$.
В другом случае (при $x_{0}^{ \prime} \leq 0$), когда $a \geq 3F_{0}/m = 1,5 м/с^{2}$, нижние верёвки не натянуты, то есть $F_{0}^{ \prime} = 0$, a $F^{ \prime} = m(g + a)$. Этот случай реализуется при ускорении лифта $a_{2} = 2 м/с^{2}$. При этом ускорении
$F^{ \prime} = m(g + a_{2}) = 118 Н$.
Тело массой $m = 10 кг$ подвешено в лифте при помощи трёх одинаковых лёгких верёвок, натянутых вертикально. Одна из них привязана к потолку лифта, две другие — к полу. Когда лифт неподвижен, натяжение каждой из нижних верёвок составляет $F_{0} = 5 Н$. Лифт начинает двигаться с постоянным ускорением, направленным вверх. Найдите установившуюся силу натяжения верхней верёвки при следующих значениях ускорения лифта: $a_{1} = 1 м/с^{2}, a_{2} = 2 м/с^{2}$. Ускорение свободного падения равно $g = 9,8 м/с^{2}$. Считайте, что сила натяжения верёвки пропорциональна её удлинению.
Решение:
Когда лифт неподвижен, на тело действуют сила тяжести mg, сила натяжения верхней верёвки $F$ и силы натяжения нижних верёвок $F_{0}$. Из условия равновесия получаем:
$F = mg + 2F_{0}$. (1)
При движении лифта с постоянным ускорением $a$, направленным вверх, в установившемся режиме тело движется с тем же ускорением $a$. Поэтому силы натяжения верёвок должны измениться. Из второго закона Ньютона:
$F^{ \prime} - mg - 2F_{0}^{ \prime} = ma$, (2)
где $F^{ \prime}$ и $F_{0}^{ \prime}$ — силы натяжения верхней и нижних верёвок.
Для того, чтобы записать ещё одно недостающее для решения задачи уравнение, учтём, что сила натяжения верёвки зависит от её удлинения $x$ следующим образом: при $x \leq 0$ сила $F = 0$, при $x > 0$ сила $F = kx$, где $k$ — некоторый коэффициент, одинаковый для всех верёвок. Отсюда получаем, что при неподвижном лифте удлинения верхней и нижних верёвок $x$ и $x_{0}$ связаны соотношением:
$ \frac{x}{F} = \frac{x_{0}}{F_{0}} = \frac{1}{k}$.
В лифте, движущемся с направленным вверх ускорением $a$, верхняя верёвка дополнительно растянется на величину $y$, а нижние укоротятся на такую же величину. Таким образом, удлинения верёвок будут равны
$x^{ \prime} = x + y, x_{0}^{ \prime} =x_{0} - y$
Возможны два случая: $x_{0}^{ \prime} > 0$ и $x_{0}^{ \prime} \leq 0$.
В первом случае
$F_{0}^{ \prime} = kx_{0}^{ \prime}, F^{ \prime} = kx^{ \prime}, F_{0}^{ \prime} - F_{0} = - ky, F^{ \prime} - F = ky$.
Вычитая из соотношения (2) соотношение (1), получаем:
$F^{ \prime} - F = ma + 2(F^{ \prime} - F_{0})$,
или $ma = 3ky$, то есть $y = \frac{ma}{3k}$. Отсюда сила натяжения верхней верёвки
$F^{\prime} = F +ky = mg + 2F_{0} + \frac{ma}{3}$,
а силы натяжения нижних верёвок
$F_{0}^{ \prime} = F_{0} - ky = F_{0} - \frac{ma}{3}$.
Указанный случай возможен при $F_{0} - \frac{ma}{3} > 0$, то есть при $a < 3F_{0}/m = 1,5 м/с^{2}$. Этому неравенству соответствует заданное в условии задачи ускорение $a_{1} = 1 м/с^{2}$. Следовательно, при этом ускорении
$F^{ \prime} = m \left ( g + \frac{a_{1}}{3} \right ) + 2F_{0} \approx 111 Н$.
В другом случае (при $x_{0}^{ \prime} \leq 0$), когда $a \geq 3F_{0}/m = 1,5 м/с^{2}$, нижние верёвки не натянуты, то есть $F_{0}^{ \prime} = 0$, a $F^{ \prime} = m(g + a)$. Этот случай реализуется при ускорении лифта $a_{2} = 2 м/с^{2}$. При этом ускорении
$F^{ \prime} = m(g + a_{2}) = 118 Н$.
