ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-10-07   
Докажите, что волновая функция $\psi (x) = Ax e^{- \frac{ - \sqrt{mk} }{2 \hbar} } x^{2}$ может быть решением уравнения Шредингера для гармонического осциллятора, масса которого $m$ и постоянная квазиупругой силы $k$. Определите собственное значение полной энергии осциллятора.


Решение:


$\frac{ \partial^{2} \psi }{ \partial x^{2} } + \frac{2m}{ \hbar} \left ( E - \frac{m \omega_{0}^{2}x^{2} }{2} \right ) \psi = 0, \frac{ \sqrt{mk} }{2 \hbar} = a$,
$\psi(x) = Axe^{-ax^{2} }, \frac{ \partial \psi}{ \partial x} = Ae^{ -ax^{2} } - 2aAx^{2} e^{-ax^{2} }$,
$\frac{ \partial^{2} \psi }{ \partial x^{2} } = - 2aAxe^{ -ax^{2} } - 4aAxe^{-ax^{2} } + 4a^{2}Ax^{3}e^{-ax^{2} } = - 6aAx e^{ - ax^{2} } + 4a^{2}Ax^{3} e^{ -ax^{2} }$,
$-6aAx + 4a^{2}Ax^{3} + \frac{2mEAx}{ \hbar^{2} } - \frac{ m^{2} \omega_{0}^{2} Ax^{3} }{ \hbar^{2} } = 0$,
$- \frac{3 \sqrt{mk} }{2 \hbar} + \frac{2mk}{4 \hbar^{2} } x^{2} + \frac{mE}{ \hbar^{2} } - \frac{m^{2}k }{m 2 \hbar^{2} } x^{2} = 0, \frac{mE}{ \hbar^{2} } = \frac{3 \sqrt{mk} }{2 \hbar}$,
$E = \frac{3 \hbar \sqrt{mk} }{2m} = \frac{3}{2} \hbar \sqrt{ \frac{k}{m} } = \frac{3}{2} \hbar \omega_{0}$