Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 928
2016-09-17 
Из Анискино (А) в Борискино (Б) можно добраться только на моторной лодке по узкой реке, скорость течения которой всюду одинакова. Лодке с одним подвесным мотором на путь из А в Б требуется время $t_{1} = 50 минут$, а с двумя моторами — время $t_{2} = t_{1}/2$. Сила тяги двух моторов вдвое больше силы тяги одного. За какое минимальное время можно добраться из Б в А на лодке с одним и с двумя моторами? Известно, что сила сопротивления движению лодки пропорциональна квадрату скорости движения относительно воды.
Решение:
Обозначим расстояние от А до Б через $S$, а скорость течения реки через $u$. Скорость движения лодки с одним мотором относительно воды обозначим через $v$. Поскольку при установке на лодку двух моторов сила тяги вырастает вдвое, а сила сопротивления движению лодки пропорциональна квадрату скорости движения лодки относительно воды, то скорость движения лодки с двумя моторами относительно воды равна $\sqrt{2}v$. Из условия задачи не известно, какой из населённых пунктов — А или Б — находится выше по течению реки. Поэтому нужно проверить два варианта:
1) А находится выше по течению; 2) Б находится выше по течению. Для первого варианта имеем уравнения:
$\frac{S}{v+u} = t_{1}, \frac{S}{ \sqrt{2} v + u} = t_{2} = \frac{t_{1}}{2}$. (1)
Для второго варианта:
$\frac{S}{v-u} = t_{1}, \frac{S}{ \sqrt{2} v - u} = t_{2} = \frac{t_{1}}{2}$. (2)
Для варианта (1), разделив одно уравнение на другое, получим:
$ \frac{u + \sqrt{2}v}{u+v} = 2$, откуда $\frac{u}{v} = \sqrt{2} - 2 < 0$.
Так как $u$ и $v$ положительны, то отсюда следует, что система (1) не имеет решения. Значит, Анискино (А) находится ниже по течению, чем Борискино (Б). Из системы (2), поделив уравнения друг на друга, получаем:
$\frac{u}{v} = 2 - \sqrt{2}$.
Чтобы найти время движения из Б в А на лодке с одним или двумя моторами, нужно вычислить величины:
$t_{3} = \frac{S}{u+v}$ и $t_{4} = \frac{S}{u + \sqrt{2}v}$. (3)
Выражая из (2) $S$ через $t_{1}$ и подставляя в (3), получаем:
$t_{3} = \frac{1 - (u/v)}{1 + (u/v)} \cdot t_{1} = \frac{ \sqrt{2} - 1}{3 - \sqrt{2}} \cdot t_{1} \approx 13,06 мин$ — время движения с одним мотором;
$t_{3} = \frac{1 - (u/v)}{ \sqrt{2} + (u/v)} \cdot t_{1} = \frac{ \sqrt{2} - 1}{2} \cdot t_{1} \approx 10,35 мин$ — время движения с двумя моторами.
Из Анискино (А) в Борискино (Б) можно добраться только на моторной лодке по узкой реке, скорость течения которой всюду одинакова. Лодке с одним подвесным мотором на путь из А в Б требуется время $t_{1} = 50 минут$, а с двумя моторами — время $t_{2} = t_{1}/2$. Сила тяги двух моторов вдвое больше силы тяги одного. За какое минимальное время можно добраться из Б в А на лодке с одним и с двумя моторами? Известно, что сила сопротивления движению лодки пропорциональна квадрату скорости движения относительно воды.
Решение:
Обозначим расстояние от А до Б через $S$, а скорость течения реки через $u$. Скорость движения лодки с одним мотором относительно воды обозначим через $v$. Поскольку при установке на лодку двух моторов сила тяги вырастает вдвое, а сила сопротивления движению лодки пропорциональна квадрату скорости движения лодки относительно воды, то скорость движения лодки с двумя моторами относительно воды равна $\sqrt{2}v$. Из условия задачи не известно, какой из населённых пунктов — А или Б — находится выше по течению реки. Поэтому нужно проверить два варианта:
1) А находится выше по течению; 2) Б находится выше по течению. Для первого варианта имеем уравнения:
$\frac{S}{v+u} = t_{1}, \frac{S}{ \sqrt{2} v + u} = t_{2} = \frac{t_{1}}{2}$. (1)
Для второго варианта:
$\frac{S}{v-u} = t_{1}, \frac{S}{ \sqrt{2} v - u} = t_{2} = \frac{t_{1}}{2}$. (2)
Для варианта (1), разделив одно уравнение на другое, получим:
$ \frac{u + \sqrt{2}v}{u+v} = 2$, откуда $\frac{u}{v} = \sqrt{2} - 2 < 0$.
Так как $u$ и $v$ положительны, то отсюда следует, что система (1) не имеет решения. Значит, Анискино (А) находится ниже по течению, чем Борискино (Б). Из системы (2), поделив уравнения друг на друга, получаем:
$\frac{u}{v} = 2 - \sqrt{2}$.
Чтобы найти время движения из Б в А на лодке с одним или двумя моторами, нужно вычислить величины:
$t_{3} = \frac{S}{u+v}$ и $t_{4} = \frac{S}{u + \sqrt{2}v}$. (3)
Выражая из (2) $S$ через $t_{1}$ и подставляя в (3), получаем:
$t_{3} = \frac{1 - (u/v)}{1 + (u/v)} \cdot t_{1} = \frac{ \sqrt{2} - 1}{3 - \sqrt{2}} \cdot t_{1} \approx 13,06 мин$ — время движения с одним мотором;
$t_{3} = \frac{1 - (u/v)}{ \sqrt{2} + (u/v)} \cdot t_{1} = \frac{ \sqrt{2} - 1}{2} \cdot t_{1} \approx 10,35 мин$ — время движения с двумя моторами.
