Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9278
2018-10-07 
Частица с энергией $E$ движется в положительном направлении оси х и встречает на своем пути бесконечно широкий прямоугольный барьер высотой $U$, причем $E < U$. Принимая $A_{1} = 1$ (как это обычно делается) и используя условия непрерывности волновой функции и ее первой производной на границе областей 1 и 2, определите плотность вероятности $| \psi_{2}(0)|^{2}$ обнаружения частицы в точке $x = 0$ области 2.
Решение:
$\psi_{1} (x) = e^{ ik_{1}x } + B_{1} e^{ - ik_{1}x }, k_{1} = \frac{ \sqrt{2mE} }{ \hbar}$,
$\psi_{2} (x) = A_{2} e^{ik_{2}x }, k_{2} = \frac{ \sqrt{2m(E - U) }}{ \hbar}$,
$\psi_{1}^{ \prime} = ik_{1}e^{ ik_{1}x } + B_{1}(-ik_{1} ) e^{ - ik_{1}x }$,
$\psi_{2}^{ \prime} = A_{2} (ik_{2} ) e^{ ik_{2}x }$,
$\psi_{1} (0) = 1 + B_{1}, \psi_{2} (0) = A_{2}$,
$\psi_{1}^{ \prime} (0) = ik_{1} - ik_{1}B_{1}, \psi_{2}^{ \prime } ( 0) = ik_{2} A_{2}$<
$B_{1} = A_{2} - 1, k_{1} - (A_{2} - 1 )k_{1} = k_{2}A_{2}$,
$2k_{1} = (k_{1} + k_{2} ) A_{2}, A_{2} = \frac{2k_{1} }{k_{1} + k_{2} }$,
$| \psi_{2} (0) |^{2} = |A_{2} |^{2} = \left | \frac{2k_{1} }{k_{1} + k_{2} } \right |^{2} = \left | \frac{2 \sqrt{E} }{ \sqrt{E} + \sqrt{E - U} } \right |^{2} = \left | \frac{2 \sqrt{E} }{ \sqrt{E} + i \sqrt{U - E} } \right |^{2} = \frac{4E}{( \sqrt{E} + i \sqrt{U - E} )( \sqrt{E} - i \sqrt{U - E} ) } = \frac{4E}{E + i \sqrt{U - E} - i \sqrt{U - E} + U - E } = \frac{4E}{U}$.
Частица с энергией $E$ движется в положительном направлении оси х и встречает на своем пути бесконечно широкий прямоугольный барьер высотой $U$, причем $E < U$. Принимая $A_{1} = 1$ (как это обычно делается) и используя условия непрерывности волновой функции и ее первой производной на границе областей 1 и 2, определите плотность вероятности $| \psi_{2}(0)|^{2}$ обнаружения частицы в точке $x = 0$ области 2.
Решение:
$\psi_{1} (x) = e^{ ik_{1}x } + B_{1} e^{ - ik_{1}x }, k_{1} = \frac{ \sqrt{2mE} }{ \hbar}$,
$\psi_{2} (x) = A_{2} e^{ik_{2}x }, k_{2} = \frac{ \sqrt{2m(E - U) }}{ \hbar}$,
$\psi_{1}^{ \prime} = ik_{1}e^{ ik_{1}x } + B_{1}(-ik_{1} ) e^{ - ik_{1}x }$,
$\psi_{2}^{ \prime} = A_{2} (ik_{2} ) e^{ ik_{2}x }$,
$\psi_{1} (0) = 1 + B_{1}, \psi_{2} (0) = A_{2}$,
$\psi_{1}^{ \prime} (0) = ik_{1} - ik_{1}B_{1}, \psi_{2}^{ \prime } ( 0) = ik_{2} A_{2}$<
$B_{1} = A_{2} - 1, k_{1} - (A_{2} - 1 )k_{1} = k_{2}A_{2}$,
$2k_{1} = (k_{1} + k_{2} ) A_{2}, A_{2} = \frac{2k_{1} }{k_{1} + k_{2} }$,
$| \psi_{2} (0) |^{2} = |A_{2} |^{2} = \left | \frac{2k_{1} }{k_{1} + k_{2} } \right |^{2} = \left | \frac{2 \sqrt{E} }{ \sqrt{E} + \sqrt{E - U} } \right |^{2} = \left | \frac{2 \sqrt{E} }{ \sqrt{E} + i \sqrt{U - E} } \right |^{2} = \frac{4E}{( \sqrt{E} + i \sqrt{U - E} )( \sqrt{E} - i \sqrt{U - E} ) } = \frac{4E}{E + i \sqrt{U - E} - i \sqrt{U - E} + U - E } = \frac{4E}{U}$.
