Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9270
2018-10-07 
Волновая функция, описывающая некоторую частицу, имеет вид $\psi(r) = \frac{A}{r} e^{ - r^{2} /a^{2} }$, где $A$ - нормировочный множитель, равный $\frac{1}{ \sqrt{ \pi a \sqrt{2 \pi} } }$; $r$ - расстояние частицы от силового центра; $a$ - некоторая постоянная. Определите среднее значение квадрата расстояния $\langle r^{2} \rangle$ частицы до силового центра.
Решение:
$\langle r^{2} \rangle = \int_{0}^{ \infty} r^{2} | \psi (r) |^{2} dV, dV = 4 \pi r^{2} dr$,
$\langle r^{2} \rangle = \int_{0}^{ \infty} r^{2} \frac{A^{2} }{r^{2} } e^{ -2r^{2}/a^{2} } 4 \pi r^{2} dr = 4 \pi A^{2} \int_{0}^{ \infty} r^{2} e^{-2r^{2} /a^{2} } dr = 4 \pi A^{2} \frac{ \sqrt{ \pi} }{4} \left ( \frac{2}{a^{2} } \right )^{-3/2} = \frac{a^{2} }{4}$.
Волновая функция, описывающая некоторую частицу, имеет вид $\psi(r) = \frac{A}{r} e^{ - r^{2} /a^{2} }$, где $A$ - нормировочный множитель, равный $\frac{1}{ \sqrt{ \pi a \sqrt{2 \pi} } }$; $r$ - расстояние частицы от силового центра; $a$ - некоторая постоянная. Определите среднее значение квадрата расстояния $\langle r^{2} \rangle$ частицы до силового центра.
Решение:
$\langle r^{2} \rangle = \int_{0}^{ \infty} r^{2} | \psi (r) |^{2} dV, dV = 4 \pi r^{2} dr$,
$\langle r^{2} \rangle = \int_{0}^{ \infty} r^{2} \frac{A^{2} }{r^{2} } e^{ -2r^{2}/a^{2} } 4 \pi r^{2} dr = 4 \pi A^{2} \int_{0}^{ \infty} r^{2} e^{-2r^{2} /a^{2} } dr = 4 \pi A^{2} \frac{ \sqrt{ \pi} }{4} \left ( \frac{2}{a^{2} } \right )^{-3/2} = \frac{a^{2} }{4}$.
