Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 927
2016-09-17 
Для организации транспортного сообщения между населёнными пунктами $A$ и $B$, расположенными на одной горизонтали на небольшом расстоянии $l$ друг от друга, между ними прорывают тоннель, состоящий из двух одинаковых прямых участков (см. рисунок). По рельсам внутри тоннеля скользит без трения безмоторная вагонетка. Какова должна быть максимальная глубина тоннеля $h$, чтобы время поездки от $A$ до $B$ было минимальным? Чему равно это время? Считайте, что движение вагонетки начинается без начальной скорости, а на закруглении в нижней точке тоннеля величина скорости не изменяется.
Решение:
Пусть угол наклона прямых участков тоннеля к горизонту равен $\alpha$. Тогда вагонетка движется по этим участкам с постоянным ускорением $a = g \sin \alpha$, сначала ускоряясь, а затем замедляясь. Первый наклонный участок будет пройден вагонеткой за время $t$, определяемое из условия: $\frac{at^{2}}{2} = \frac{l}{2 \cos \alpha}$. Отсюда $t = \sqrt{ \frac{l}{a \cos \alpha}}$. Второй наклонный участок будет пройден вагонеткой, очевидно, за такое же время $t$ (тоннель симметричный). Значит, полное время поездки от $A$ до $B$ равно
$T = 2t = 2 \sqrt{ \frac{l}{a \cos \alpha}} = 2 \sqrt{ \frac{l}{g \sin \alpha \cos \alpha}} = 2 \sqrt{ \frac{2l}{g \sin 2 \alpha}}$.
Это время будет минимальным при максимальном значении $\sin 2 \alpha$. Так как значение функции синус не может превышать 1, а это значение достигается при величине её аргумента $\pi /2$, то в нашем случае $\alpha = \pi /4$. Учитывая это, получаем:
$tg \alpha = \frac{2h}{l} = 1$, откуда $h = \frac{l}{2}$.
Минимальное время поездки, достигаемое при данном значении максимальной глубины тоннеля, равно $T_{min} = 2 \sqrt{2l/g}$.
Для организации транспортного сообщения между населёнными пунктами $A$ и $B$, расположенными на одной горизонтали на небольшом расстоянии $l$ друг от друга, между ними прорывают тоннель, состоящий из двух одинаковых прямых участков (см. рисунок). По рельсам внутри тоннеля скользит без трения безмоторная вагонетка. Какова должна быть максимальная глубина тоннеля $h$, чтобы время поездки от $A$ до $B$ было минимальным? Чему равно это время? Считайте, что движение вагонетки начинается без начальной скорости, а на закруглении в нижней точке тоннеля величина скорости не изменяется.
Решение:
Пусть угол наклона прямых участков тоннеля к горизонту равен $\alpha$. Тогда вагонетка движется по этим участкам с постоянным ускорением $a = g \sin \alpha$, сначала ускоряясь, а затем замедляясь. Первый наклонный участок будет пройден вагонеткой за время $t$, определяемое из условия: $\frac{at^{2}}{2} = \frac{l}{2 \cos \alpha}$. Отсюда $t = \sqrt{ \frac{l}{a \cos \alpha}}$. Второй наклонный участок будет пройден вагонеткой, очевидно, за такое же время $t$ (тоннель симметричный). Значит, полное время поездки от $A$ до $B$ равно
$T = 2t = 2 \sqrt{ \frac{l}{a \cos \alpha}} = 2 \sqrt{ \frac{l}{g \sin \alpha \cos \alpha}} = 2 \sqrt{ \frac{2l}{g \sin 2 \alpha}}$.
Это время будет минимальным при максимальном значении $\sin 2 \alpha$. Так как значение функции синус не может превышать 1, а это значение достигается при величине её аргумента $\pi /2$, то в нашем случае $\alpha = \pi /4$. Учитывая это, получаем:
$tg \alpha = \frac{2h}{l} = 1$, откуда $h = \frac{l}{2}$.
Минимальное время поездки, достигаемое при данном значении максимальной глубины тоннеля, равно $T_{min} = 2 \sqrt{2l/g}$.
