ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-10-07   
Используя соотношение неопределенностей в форме $\Delta x \Delta p \geq \hbar$, оцените минимально возможную полную энергию электрона в атоме водорода. Примите неопределенность координаты равной радиусу атома. Сравните полученный результат с теорией Бора.


Решение:


$\Delta x \Delta p_{x} \geq \hbar, \frac{ \Delta p_{x} }{ p_{x} } \approx 1, p_{x} = \Delta p_{x} = \frac{ \hbar}{ \Delta x} = \frac{ \hbar}{r}$,
$E = T + \Pi = \frac{p^{2} }{2m} + \left ( - \frac{e^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} r } \right ), E = \frac{ \hbar^{2} }{2mr^{2} } - \frac{e^{2} }{2 \pi \epsilon_{0} r }$,

Минимально возможная энергия при $r_{min}$ следовательно $\frac{dE}{dr} = 0, \frac{dE}{dr} = - \frac{ \hbar^{2} }{mr^{3} } + \frac{e^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} r^{2} }, \frac{1}{r^{2} } \left ( \frac{e^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} } - \frac{ \hbar^{2} }{mr} \right ) = 0$,
$r_{min} = \frac{4 \pi \epsilon_{0} \hbar^{2} }{me^{2} }, E_{min} = \frac{ \hbar^{2} }{2mr_{min}^{2} } - \frac{e^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} r_{min} } = - \frac{me^{4} }{2(4 \pi \epsilon_{0} )^{2} \hbar^{2} }$,
$\hbar = \frac{h}{2 \pi}, E_{min} = - \frac{me^{4} }{8h^{2} \epsilon_{0}^{2} } = - 13,6 эВ$.