ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-10-06   
Один конец упругого стержня соединен с источником гармонических колебаний, подчиняющихся закону $\xi = A \cos \omega t$, а другой его конец жестко закреплен. Учитывая, что отражение в месте закрепления стержня происходит от более плотной среды, определите характер колебаний в любой точке стержня.


Решение:


Уравнение волны до и после отражения
$\xi_{1} = A \cos \omega \left ( t - \frac{x}{v} \right )$,
$\xi_{2} = A \cos \left ( \omega \left ( t + \frac{x}{v} \right ) + \pi \right ) = - A \cos \omega \left ( t + \frac{x}{v} \right )$,
$\xi( x,t) = \xi_{1} + \xi_{2} = A \cos \left ( \omega t - \frac{ \omega x}{v} \right ) - A \cos \left ( \omega t + \frac{ \omega x}{v} \right ) = A \left ( \cos \omega t \cos \frac{ \omega x}{v} + \sin \omega t \sin \frac{ \omega x}{v} - \cos \omega t \cos \frac{ \omega x}{v} + \sin \omega t \sin \frac{ \omega x}{v} \right ) = 2A \sin \frac{ \omega x}{v} \sin \omega t$,

$\omega = \frac{2 \pi}{T}, \lambda = vT, \frac{ \omega x}{v} = \frac{2 \pi}{T} \frac{T}{ \lambda} x = \frac{2 \pi}{ \lambda}x$,
$\xi(x,t) = 2A \sin \frac{2 \pi}{ \lambda} x \sin \omega t$ - уравнение стоячей волны
При $x = \pm m \frac{ \lambda}{2}$ ($m = 0,1,2, \cdots $) - узлы
При $x = \pm \left ( m + \frac{1}{2} \right ) \frac{ \lambda}{2}$ ($m = 0,1,2, \cdots$) - пучности