Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 923
2016-09-17 
Маленький упругий шарик бросают со скоростью $v = 1 м/с$ под углом $\alpha = 45^{ \circ}$ к горизонту. Коэффициент восстановления вертикальной составляющей скорости шарика после удара о горизонтальную плоскость, с которой производился бросок, $R = 0,99$. На каком расстоянии $S$ от точки бросания шарик перестанет подпрыгивать, если горизонтальная составляющая его скорости не изменяется? (Коэффициентом восстановления называется отношение скорости после удара к скорости до удара).
Решение:
Между моментом броска шарика и его первым ударом о плоскость пройдёт время $t_{0} = \frac{2v \sin \alpha}{g}$. После удара горизонтальная составляющая скорости шарика не изменится, а вертикальная станет равна $Rv$. Значит, между первым и вторым ударами шарика о плоскость пройдёт время $t_{1} = \frac{2Rv \sin \alpha}{g}$. Рассуждая аналогично, получим, что между $n$-м и $(n + 1)$-м ударами пройдёт время $t_{n} = \frac{2v \sin \alpha}{g} R^{n}$.
Полное время $T$, в течение которого шарик будет продолжать прыгать, может быть найдено, как сумма промежутков времени $t_{n}$:
$T = \sum_{n=0}^{ \infty} t_{n} = \frac{2v \sin \alpha}{g} \sum_{n=0}^{ \infty} R^{n} = \frac{2v \sin \alpha}{g} \cdot \frac{1}{1-R}$
(здесь мы использовали формулу для суммы геометрической прогрессии). Так как горизонтальная составляющая скорости шарика во время процесса не изменяется, то для расстояния, которое пропрыгает шарик, получаем: $S = v \cos \alpha T = \frac{v^{2} \sin 2 \alpha}{g(1-R)} \approx 10 м$.
Отметим, что в этой задаче рассмотрен простой пример бесконечного процесса, занимающего конечный промежуток времени.
Маленький упругий шарик бросают со скоростью $v = 1 м/с$ под углом $\alpha = 45^{ \circ}$ к горизонту. Коэффициент восстановления вертикальной составляющей скорости шарика после удара о горизонтальную плоскость, с которой производился бросок, $R = 0,99$. На каком расстоянии $S$ от точки бросания шарик перестанет подпрыгивать, если горизонтальная составляющая его скорости не изменяется? (Коэффициентом восстановления называется отношение скорости после удара к скорости до удара).
Решение:
Между моментом броска шарика и его первым ударом о плоскость пройдёт время $t_{0} = \frac{2v \sin \alpha}{g}$. После удара горизонтальная составляющая скорости шарика не изменится, а вертикальная станет равна $Rv$. Значит, между первым и вторым ударами шарика о плоскость пройдёт время $t_{1} = \frac{2Rv \sin \alpha}{g}$. Рассуждая аналогично, получим, что между $n$-м и $(n + 1)$-м ударами пройдёт время $t_{n} = \frac{2v \sin \alpha}{g} R^{n}$.
Полное время $T$, в течение которого шарик будет продолжать прыгать, может быть найдено, как сумма промежутков времени $t_{n}$:
$T = \sum_{n=0}^{ \infty} t_{n} = \frac{2v \sin \alpha}{g} \sum_{n=0}^{ \infty} R^{n} = \frac{2v \sin \alpha}{g} \cdot \frac{1}{1-R}$
(здесь мы использовали формулу для суммы геометрической прогрессии). Так как горизонтальная составляющая скорости шарика во время процесса не изменяется, то для расстояния, которое пропрыгает шарик, получаем: $S = v \cos \alpha T = \frac{v^{2} \sin 2 \alpha}{g(1-R)} \approx 10 м$.
Отметим, что в этой задаче рассмотрен простой пример бесконечного процесса, занимающего конечный промежуток времени.
