ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-10-06   
На чашку весов массой $M$, подвешенную на пружине жесткостью $k$, с высоты $h$ падает небольшой груз массой $m$. Удар груза о дно чашки является абсолютно неупругим. Чашка в результате падения груза начинает совершать колебания. Определите амплитуду $A$ этих колебаний.


Решение:



Так как потерь энергии нет, значит
$\frac{mv_{1}^{2} }{2} + mgh$,
$v_{1} = \sqrt{2gh}$,

Из уравнение сохранения импульса
$mv_{1} = (m + M)v$,
$v = \frac{m}{m + M} \sqrt{2gh}$.

При ненагруженной чашке:

$Mg = kl, l = \frac{Mg}{k}, \frac{1}{2} (m + M)v^{2} + (m+M)g(x_{0} - l ) = \int_{l}^{x_{0} } kx dx$,
$\frac{1}{2}(m + M) \frac{m^{2} }{(m + M)^{2} } 2gh + (m + M)g(x_{0} - l ) = \frac{1}{2} k (x_{0}^{2} - l^{2} )$.

Решаем уравнение относительно $x_{0} $:

$x_{0} = \frac{m + M}{k}g \pm \sqrt{ \frac{m^{2}g^{2} }{k^{2} } + \frac{2m^{2}gh }{(m + M)k} }$.

При нагруженной чашке:

$(m + M)g = kl^{ \prime}, l^{ \prime} = \frac{m + M}{k}g$,
$A = x_{0} - l^{ \prime} = \sqrt{ \frac{m^{2}g^{2} }{k^{2} } + \frac{2m^{2}gh }{(m + M)j} }$.