Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9210
2018-09-29 
В физике известно так называемое уравнение непрерывности $\oint_{S} \vec{j} d \vec{S} = - \frac{ \partial Q}{ \partial t}$, выражающее закон сохранения заряда. Докажите, что уравнения Максвелла содержат это уравнение. Выведите дифференциальную форму уравнения непрерывности.
Решение:
$\oint_{L} H_{l} dl = \int_{S} \left ( j + \frac{ \partial D}{ \partial t} \right ) dS$ ($S$ - любая поверхность, опирающаяся на замкнутый контур $L$),
$\int_{S} j_{n} dS = \oint_{L} H_{l} dl - \int_{S} \frac{ \partial D}{ \partial t} dS$. Рассмотрим бесконечно малый контур, стянув его в точку, а поверхность оставим конечной. Тогда $\oint_{L} H_{l} dl = 0$.
Поверхность замкнута, поэтому можем записать: $\oint_{S} j_{n} dS = - \oint_{S} \frac{ \partial D_{n} }{ \partial t} dS$.
Используем III уравнение Максвелла и продифференцируем его по времени:
$\oint_{S} D_{n} dS = \int_{V} \rho dV, \oint_{S} \frac{ \partial D_{n} }{ \partial t} dS = \frac{ \partial }{ \partial t} \left ( \int_{V} \rho dV \right ), \oint_{S} j_{n} dS = - \frac{ \partial }{ \partial t} \left ( \int_{V} \rho dV \right )$.
$\oint_{S} \vec{j} d \vec{S} = - \frac{ \partial Q}{ \partial t}$ - уравнение непрерывности в интегральной форм
$lim_{V \rightarrow 0} \frac{ \oint_{S} j_{n}dS }{V} = - lim_{V \rightarrow 0} \frac{ \int_{V} \frac{ \partial \rho }{ \partial t} dV }{V}$.
В физике известно так называемое уравнение непрерывности $\oint_{S} \vec{j} d \vec{S} = - \frac{ \partial Q}{ \partial t}$, выражающее закон сохранения заряда. Докажите, что уравнения Максвелла содержат это уравнение. Выведите дифференциальную форму уравнения непрерывности.
Решение:
$\oint_{L} H_{l} dl = \int_{S} \left ( j + \frac{ \partial D}{ \partial t} \right ) dS$ ($S$ - любая поверхность, опирающаяся на замкнутый контур $L$),
$\int_{S} j_{n} dS = \oint_{L} H_{l} dl - \int_{S} \frac{ \partial D}{ \partial t} dS$. Рассмотрим бесконечно малый контур, стянув его в точку, а поверхность оставим конечной. Тогда $\oint_{L} H_{l} dl = 0$.
Поверхность замкнута, поэтому можем записать: $\oint_{S} j_{n} dS = - \oint_{S} \frac{ \partial D_{n} }{ \partial t} dS$.
Используем III уравнение Максвелла и продифференцируем его по времени:
$\oint_{S} D_{n} dS = \int_{V} \rho dV, \oint_{S} \frac{ \partial D_{n} }{ \partial t} dS = \frac{ \partial }{ \partial t} \left ( \int_{V} \rho dV \right ), \oint_{S} j_{n} dS = - \frac{ \partial }{ \partial t} \left ( \int_{V} \rho dV \right )$.
$\oint_{S} \vec{j} d \vec{S} = - \frac{ \partial Q}{ \partial t}$ - уравнение непрерывности в интегральной форм
$lim_{V \rightarrow 0} \frac{ \oint_{S} j_{n}dS }{V} = - lim_{V \rightarrow 0} \frac{ \int_{V} \frac{ \partial \rho }{ \partial t} dV }{V}$.
