2016-09-17
Пушка стоит на самом верху горы, любое вертикальное сечение которой есть парабола $y = ax^{2}$ (см. рисунок). При какой минимальной начальной скорости снаряда, выпущенного под углом $\alpha$ к горизонту, он никогда не упадёт на поверхность горы? Ускорение свободного падения равно $g$.
Решение:
Найдём уравнение траектории снаряда в системе координат, заданной на рисунке в условии задачи. Пусть $t$ — время, прошедшее с момента выстрела, a $V_{0}$ — начальная скорость снаряда. Очевидно, что координаты снаряда в момент $t$ есть $x = v_{0} \cos \alpha \cdot t, y = \frac{gt^{2}}{2} - v_{0} \sin \alpha \cdot t$, откуда $y(x) = \frac{g}{2V_{0}^{2} \cos^{2} \alpha} x^{2} - x tg \alpha$. Точка столкновения снаряда с поверхностью горы находится из уравнения
$y = \frac{g}{2V_{0}^{2} \cos^{2} \alpha} x^{2} - x tg \alpha = ax^{2}$.
Решение $x = 0$ соответствует месту выстрела, поэтому точка падения снаряда определяется уравнением
$ \left ( \frac{g}{2V_{0}^{2} \cos^{2} \alpha} - a \right ) x = tg \alpha$.
Это уравнение не имеет положительных решений при $\frac{g}{2V_{0}^{2} \cos^{2} \alpha} \leq a$, то есть минимальное значение начальной скорости снаряда, при которой он никогда не упадёт на поверхность горы, $V_{0 min} = \frac{1}{ \cos \alpha} \sqrt{ \frac{g}{2a}}$. При меньших значениях $V_{0}$ столкновение снаряда с горой неизбежно.