Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 918
2016-09-17 
Камень, брошенный вертикально вверх с достаточно большой высоты, за первую секунду полёта проходит путь $S$. Какой путь пройдёт камень за вторую секунду полёта? Ускорение свободного падения равно $g = 10 м/с^{2}$. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Введём обозначение: $t_{0} = 1 с$. Поместим начало координат в точке бросания и направим ось $y$ вверх. Возможны три случая, в зависимости от величины $S$.
1. В течение первых двух секунд камень движется вверх, то есть $v_{0} > g \cdot 2t_{0} = 20 м/с$. Тогда для первой секунды полёта путь
$S = v_{0}t_{0} - (gt_{0}^{2}/2) > 3gt_{0}^{2}/2 = 15 м$.
Из написанного равенства следует, что $v_{0} = (2S + gt_{0}^{2})/(2t_{0})$.
К концу второй секунды полёта вертикальная координата камня будет равна $y = v_{0} \cdot 2t_{0} — (g/2) \cdot (2t_{0})^{2} = 2S — gt_{0}^{2}$. Следовательно, за вторую секунду камень пройдёт путь $\Delta S = S — gt_{0}^{2} > 5 м$.
2. В течение первой секунды камень движется вверх, а в течение второй секунды направление его движения изменяется. При этом, очевидно, $v_{0}$ должно удовлетворять следующим условиям:
$v_{0} - gt_{0} > 0; v_{0} - g \cdot 2t_{0} < 0$,
откуда
$gt_{0} = 10 м/с < v_{0} < g \cdot 2t_{0} = 20 м/с$.
Тогда, аналогично первому случаю, $v_{0} = \frac{2S + gt_{0}^{2}}{2t_{0}}$, и, с учетом написанного выше условия для $v_{0}$, получим: $gt_{0}^{2}/2 = 5 м < S < 3gt_{0}^{2}/2 = 15 м$.
Камень остановится через время $\tau = \frac{v_{0}}{g} = \frac{S}{gt_{0}} + \frac{t_{0}}{2}$. При этом $t_{0} = 1 с < \tau < 2t_{0} = 2 с$. К концу промежутка времени $\tau$ вертикальная координата камня будет равна
$y_{макс} = v_{0} \tau - \frac{g \tau^{2}}{2} = \frac{(2S + gt_{0}^{2})^{2}}{8 g_{0}t_{0}^{2}}$,
а к концу второй секунды полёта координата камня будет равна
$y_{кон} = v_{0} \cdot 2t_{0} - (g/2) \cdot (2t_{0})^{2} = 2S - gt_{0}^{2}$.
Таким образом, за вторую секунду камень пройдёт путь
$\Delta S = (y_{макс}-S)+(y_{макс}-y_{кон}) = 2y_{макс} - S - y_{кон} = \frac{5g^{2}t_{0}^{4} - 8gt_{0}^{2}S + 4S^{2}}{4gt_{0}^{2}}$,
и с учётом неравенства, написанного выше для $S$, получим
$2,5 м < \Delta S < 5 м$.
При этом если камень останавливается строго в начале или в конце второй секунды полёта, то $\Delta S = 5 м$, а если остановка происходит в середине второй секунды, то путь минимален: $\Delta S = 2,5 м$.
3. Направление движения камня изменяется в течение первой секунды. При этом $v_{0} < gt_{0} = 10 м/с$, часть пути $S$ камень проходит вверх до точки остановки на высоте $y_{макс} = \frac{v_{0}^{2}}{2g} = S_{1}$ за время $\tau = v_{0}/g$, а оставшуюся часть — за время $(t_{0} — \tau)$:
$S_{2} = \frac{g(t_{0}- \tau)^{2}}{2}$.
Таким образом,
$S = S_{1} + S_{2} = \frac{2v_{0}^{2} - 2v_{0}gt_{0} + g^{2}t_{0}^{2}}{2g} < \frac{gt_{0}^{2}}{2} = 5 м$.
Из последнего равенства получаем: $v_{0} = \frac{gt_{0} \pm \sqrt{4gS - g^{2}t_{0}^{2}}}{2}$. Поскольку при этом должно выполняться неравенство $4gS - g^{2}t_{0}^{2} > 0$, то $S > gt_{0}^{2}/4 = 2,5 м$. Окончательно получаем, что в третьем случае ограничения на величину $S$ имеют вид:
$\frac{gt_{0}^{2}}{4} = 2,5 м < S < \frac{gt_{0}^{2}}{2} = 5 м$.
В конце первой секунды координата камня будет равна
$y_{1} = v_{0}t_{0} - \frac{gt_{0}^{2}}{2} = \pm \frac{t_{0} \sqrt{4gS - g^{2}t_{0}^{2}}}{2}$,
а в конце второй секунды
$y_{2} = v_{0} \cdot 2t_{0} - \frac{g}{2} \cdot (2t_{0})^{2} = t_{0} \left ( -gt_{0} \pm \sqrt{4gS - g^{2}t_{0}^{2}} \right )$.
Поскольку в данном случае в течение всей второй секунды камень падает вниз, то путь, пройденный им за вторую секунду, составляет
$\Delta S = y_{1} - y_{2} = gt_{0}^{2} \mp \frac{t_{0} \sqrt{4gS - g^{2}t_{0}^{2}}}{2}$.
С учётом ограничений на величину $S$ получаем: $5 м < \Delta S < 15 м$. Очевидно, что при $S < 2,5 м$ решения задачи нет.
Камень, брошенный вертикально вверх с достаточно большой высоты, за первую секунду полёта проходит путь $S$. Какой путь пройдёт камень за вторую секунду полёта? Ускорение свободного падения равно $g = 10 м/с^{2}$. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Решение:
Введём обозначение: $t_{0} = 1 с$. Поместим начало координат в точке бросания и направим ось $y$ вверх. Возможны три случая, в зависимости от величины $S$.
1. В течение первых двух секунд камень движется вверх, то есть $v_{0} > g \cdot 2t_{0} = 20 м/с$. Тогда для первой секунды полёта путь
$S = v_{0}t_{0} - (gt_{0}^{2}/2) > 3gt_{0}^{2}/2 = 15 м$.
Из написанного равенства следует, что $v_{0} = (2S + gt_{0}^{2})/(2t_{0})$.
К концу второй секунды полёта вертикальная координата камня будет равна $y = v_{0} \cdot 2t_{0} — (g/2) \cdot (2t_{0})^{2} = 2S — gt_{0}^{2}$. Следовательно, за вторую секунду камень пройдёт путь $\Delta S = S — gt_{0}^{2} > 5 м$.
2. В течение первой секунды камень движется вверх, а в течение второй секунды направление его движения изменяется. При этом, очевидно, $v_{0}$ должно удовлетворять следующим условиям:
$v_{0} - gt_{0} > 0; v_{0} - g \cdot 2t_{0} < 0$,
откуда
$gt_{0} = 10 м/с < v_{0} < g \cdot 2t_{0} = 20 м/с$.
Тогда, аналогично первому случаю, $v_{0} = \frac{2S + gt_{0}^{2}}{2t_{0}}$, и, с учетом написанного выше условия для $v_{0}$, получим: $gt_{0}^{2}/2 = 5 м < S < 3gt_{0}^{2}/2 = 15 м$.
Камень остановится через время $\tau = \frac{v_{0}}{g} = \frac{S}{gt_{0}} + \frac{t_{0}}{2}$. При этом $t_{0} = 1 с < \tau < 2t_{0} = 2 с$. К концу промежутка времени $\tau$ вертикальная координата камня будет равна
$y_{макс} = v_{0} \tau - \frac{g \tau^{2}}{2} = \frac{(2S + gt_{0}^{2})^{2}}{8 g_{0}t_{0}^{2}}$,
а к концу второй секунды полёта координата камня будет равна
$y_{кон} = v_{0} \cdot 2t_{0} - (g/2) \cdot (2t_{0})^{2} = 2S - gt_{0}^{2}$.
Таким образом, за вторую секунду камень пройдёт путь
$\Delta S = (y_{макс}-S)+(y_{макс}-y_{кон}) = 2y_{макс} - S - y_{кон} = \frac{5g^{2}t_{0}^{4} - 8gt_{0}^{2}S + 4S^{2}}{4gt_{0}^{2}}$,
и с учётом неравенства, написанного выше для $S$, получим
$2,5 м < \Delta S < 5 м$.
При этом если камень останавливается строго в начале или в конце второй секунды полёта, то $\Delta S = 5 м$, а если остановка происходит в середине второй секунды, то путь минимален: $\Delta S = 2,5 м$.
3. Направление движения камня изменяется в течение первой секунды. При этом $v_{0} < gt_{0} = 10 м/с$, часть пути $S$ камень проходит вверх до точки остановки на высоте $y_{макс} = \frac{v_{0}^{2}}{2g} = S_{1}$ за время $\tau = v_{0}/g$, а оставшуюся часть — за время $(t_{0} — \tau)$:
$S_{2} = \frac{g(t_{0}- \tau)^{2}}{2}$.
Таким образом,
$S = S_{1} + S_{2} = \frac{2v_{0}^{2} - 2v_{0}gt_{0} + g^{2}t_{0}^{2}}{2g} < \frac{gt_{0}^{2}}{2} = 5 м$.
Из последнего равенства получаем: $v_{0} = \frac{gt_{0} \pm \sqrt{4gS - g^{2}t_{0}^{2}}}{2}$. Поскольку при этом должно выполняться неравенство $4gS - g^{2}t_{0}^{2} > 0$, то $S > gt_{0}^{2}/4 = 2,5 м$. Окончательно получаем, что в третьем случае ограничения на величину $S$ имеют вид:
$\frac{gt_{0}^{2}}{4} = 2,5 м < S < \frac{gt_{0}^{2}}{2} = 5 м$.
В конце первой секунды координата камня будет равна
$y_{1} = v_{0}t_{0} - \frac{gt_{0}^{2}}{2} = \pm \frac{t_{0} \sqrt{4gS - g^{2}t_{0}^{2}}}{2}$,
а в конце второй секунды
$y_{2} = v_{0} \cdot 2t_{0} - \frac{g}{2} \cdot (2t_{0})^{2} = t_{0} \left ( -gt_{0} \pm \sqrt{4gS - g^{2}t_{0}^{2}} \right )$.
Поскольку в данном случае в течение всей второй секунды камень падает вниз, то путь, пройденный им за вторую секунду, составляет
$\Delta S = y_{1} - y_{2} = gt_{0}^{2} \mp \frac{t_{0} \sqrt{4gS - g^{2}t_{0}^{2}}}{2}$.
С учётом ограничений на величину $S$ получаем: $5 м < \Delta S < 15 м$. Очевидно, что при $S < 2,5 м$ решения задачи нет.
