Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9166
2018-09-28 
Уединенная металлическая сфера электроемкостью $C = 4 пФ$ заряжена до потенциала $\phi = 1 кВ$. Определите энергию поля, заключенную в сферическом слое между сферой и концентрической с ней сферической поверхностью, радиус которой в 4 раза больше радиуса уединенной сферы.
Решение:
Емкость шара
$C = 4 \pi \epsilon_{0}R, R = \frac{C}{4 \pi \epsilon_{0} }$,
Напряженность электрического поля
$E = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2} }, Q = C \phi$,
Объемная плотность электрической энергии
$w = \left . \frac{ \epsilon_{0} \epsilon E^{2} }{2} \right |_{ \epsilon = 1} = \frac{ \epsilon_{0}E^{2} }{2}$,
Объем сферической оболочки
$dV = 4 \pi r^{2} dr$,
Энергия поля в заданных радиусах
$W = \int w dV = \int \frac{ \epsilon_{0} E^{2} }{2} dV = \int_{R}^{R_{1} } \frac{ \epsilon_{0} C^{2} \phi^{2} 4 \pi r^{2} dr }{(4 \pi )^{2} \epsilon_{0}^{2} r^{4} 2 } = \frac{C^{2} \phi^{2} }{8 \pi \epsilon_{0} } \int_{R}^{R_{1} } \frac{dr}{r^{2} } = \frac{C^{2} \phi^{2} }{8 \pi \epsilon_{0} } \left . \left ( - \frac{1}{r} \right ) \right |_{R}^{R_{1} } = \frac{C^{2} \phi^{2} }{8 \pi \epsilon_{0} } \left ( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_{1} } \right ) = \frac{C^{2} \phi^{2} }{8 \pi \epsilon_{0} } \left ( \frac{1}{R} - \frac{1}{4R} \right ) = \frac{C^{2} \phi^{2} }{8 \pi \epsilon_{0} } \frac{3 \cdot 4 \pi \epsilon_{0} }{4C} = \frac{3 C \phi^{2} }{8} = 1,5 мкДж$
Уединенная металлическая сфера электроемкостью $C = 4 пФ$ заряжена до потенциала $\phi = 1 кВ$. Определите энергию поля, заключенную в сферическом слое между сферой и концентрической с ней сферической поверхностью, радиус которой в 4 раза больше радиуса уединенной сферы.
Решение:
Емкость шара
$C = 4 \pi \epsilon_{0}R, R = \frac{C}{4 \pi \epsilon_{0} }$,
Напряженность электрического поля
$E = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2} }, Q = C \phi$,
Объемная плотность электрической энергии
$w = \left . \frac{ \epsilon_{0} \epsilon E^{2} }{2} \right |_{ \epsilon = 1} = \frac{ \epsilon_{0}E^{2} }{2}$,
Объем сферической оболочки
$dV = 4 \pi r^{2} dr$,
Энергия поля в заданных радиусах
$W = \int w dV = \int \frac{ \epsilon_{0} E^{2} }{2} dV = \int_{R}^{R_{1} } \frac{ \epsilon_{0} C^{2} \phi^{2} 4 \pi r^{2} dr }{(4 \pi )^{2} \epsilon_{0}^{2} r^{4} 2 } = \frac{C^{2} \phi^{2} }{8 \pi \epsilon_{0} } \int_{R}^{R_{1} } \frac{dr}{r^{2} } = \frac{C^{2} \phi^{2} }{8 \pi \epsilon_{0} } \left . \left ( - \frac{1}{r} \right ) \right |_{R}^{R_{1} } = \frac{C^{2} \phi^{2} }{8 \pi \epsilon_{0} } \left ( \frac{1}{R} - \frac{1}{R_{1} } \right ) = \frac{C^{2} \phi^{2} }{8 \pi \epsilon_{0} } \left ( \frac{1}{R} - \frac{1}{4R} \right ) = \frac{C^{2} \phi^{2} }{8 \pi \epsilon_{0} } \frac{3 \cdot 4 \pi \epsilon_{0} }{4C} = \frac{3 C \phi^{2} }{8} = 1,5 мкДж$
