Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 916
2016-09-17 
Космический корабль движется в открытом космосе со скоростью $\vec{V}$. Требуется изменить направление скорости на $90^{ \circ}$, оставив величину скорости неизменной. Найдите минимальное время, необходимое для такого манёвра, если двигатель может сообщать кораблю в любом направлении ускорение, не превышающее $a$. По какой траектории будет при этом двигаться корабль?
Решение:
Перейдём в инерциальную систему отсчёта, движущуюся с постоянной скоростью $\vec{V}$. Так как во всех инерциальных системах отсчёта при одинаковых начальных условиях все механические явления протекают одинаково (принцип относительности Галилея), то ограничение, наложенное в условии задачи на ускорение корабля, не изменится. В новой системе отсчёта начальная скорость космического корабля равна нулю, а конечная скорость по модулю равна $V \sqrt{2}$ и направлена под углом $135^{ \circ}$ к первоначальному направлению движения.
Теперь ясно, что для совершения манёвра нужно включить двигатели так, чтобы при развороте корабля его ускорение было всё время направлено в сторону конечной скорости корабля, то есть под углом $135^{ \circ}$ к первоначальному направлению движения. Тогда минимальное время манёвра будет равно $\tau = V \sqrt{2}/a$.
Выясним, по какой траектории будет двигаться корабль при манёвре. Для этого вернёмся в исходную систему отсчёта и направим координатную ось $Y$ декартовой системы координат в направлении, обратном ускорению, а ось $X$ — перпендикулярно к ней, так, как показано на рисунке. Тогда закон движения в проекциях на эти оси примет вид:
$x = \frac{V \sqrt{2}}{2} t, y = \frac{V \sqrt{2}}{2}t - \frac{at^{2}}{2}$
Выражая из первого уравнения время и подставляя его во второе, получим уравнение траектории корабля: $y = x - \frac{ax^{2}}{V^{2}}$ то есть корабль будет двигаться по параболе, аналогично телу, брошенному по углом $45^{ \circ}$ к горизонту.
В заключение приведём примеры двух неправильных решений задачи, которые сразу приходят в голову.
1) Корабль осуществляет поворот, двигаясь по окружности радиусом Я с постоянным центростремительным ускорением $a = V^{2}/R$. Тогда время, которое он затратит на маневр, рано $\tau_{1} = \frac{ \pi R}{2V} = \frac{ \pi}{2} \cdot \frac{V}{a} > \tau$.
2) Корабль сначала полностью гасит начальную продольную скорость и только потом развивает необходимую поперечную скорость. В этом случае время манёвра равно $\tau_{2} = 2(V/a) > \tau$.
Космический корабль движется в открытом космосе со скоростью $\vec{V}$. Требуется изменить направление скорости на $90^{ \circ}$, оставив величину скорости неизменной. Найдите минимальное время, необходимое для такого манёвра, если двигатель может сообщать кораблю в любом направлении ускорение, не превышающее $a$. По какой траектории будет при этом двигаться корабль?
Решение:
Перейдём в инерциальную систему отсчёта, движущуюся с постоянной скоростью $\vec{V}$. Так как во всех инерциальных системах отсчёта при одинаковых начальных условиях все механические явления протекают одинаково (принцип относительности Галилея), то ограничение, наложенное в условии задачи на ускорение корабля, не изменится. В новой системе отсчёта начальная скорость космического корабля равна нулю, а конечная скорость по модулю равна $V \sqrt{2}$ и направлена под углом $135^{ \circ}$ к первоначальному направлению движения.
Теперь ясно, что для совершения манёвра нужно включить двигатели так, чтобы при развороте корабля его ускорение было всё время направлено в сторону конечной скорости корабля, то есть под углом $135^{ \circ}$ к первоначальному направлению движения. Тогда минимальное время манёвра будет равно $\tau = V \sqrt{2}/a$.
Выясним, по какой траектории будет двигаться корабль при манёвре. Для этого вернёмся в исходную систему отсчёта и направим координатную ось $Y$ декартовой системы координат в направлении, обратном ускорению, а ось $X$ — перпендикулярно к ней, так, как показано на рисунке. Тогда закон движения в проекциях на эти оси примет вид:
$x = \frac{V \sqrt{2}}{2} t, y = \frac{V \sqrt{2}}{2}t - \frac{at^{2}}{2}$
Выражая из первого уравнения время и подставляя его во второе, получим уравнение траектории корабля: $y = x - \frac{ax^{2}}{V^{2}}$ то есть корабль будет двигаться по параболе, аналогично телу, брошенному по углом $45^{ \circ}$ к горизонту.
В заключение приведём примеры двух неправильных решений задачи, которые сразу приходят в голову.
1) Корабль осуществляет поворот, двигаясь по окружности радиусом Я с постоянным центростремительным ускорением $a = V^{2}/R$. Тогда время, которое он затратит на маневр, рано $\tau_{1} = \frac{ \pi R}{2V} = \frac{ \pi}{2} \cdot \frac{V}{a} > \tau$.
2) Корабль сначала полностью гасит начальную продольную скорость и только потом развивает необходимую поперечную скорость. В этом случае время манёвра равно $\tau_{2} = 2(V/a) > \tau$.
