Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9140
2018-09-21 
Закон распределения молекул газа по скоростям в некотором молекулярном пучке имеет вид $f(v) = A v^{3} e^{ - m_{0}v^{2}/(2kT)}$. Определите: 1) наиболее вероятную скорость $v_{в}$; 2) наиболее вероятное значение энергии $\epsilon_{в}$ молекул в этом пучке.
Решение:
1) Наиболее вероятная скорость $v_{в}$ найдем из условия $\frac{df(v) }{dv} = 0$
$\frac{d}{dv} \left ( Av^{3} e^{ - \frac{m_{0}v^{2} }{2kT} } \right ) = A \left ( 3v^{2}e^{ \frac{-m_{0}v^{2} }{2kT} } - \frac{m_{0} }{2kT} 2v v^{3} e^{ \frac{- m_{0}v^{2} }{2kT} } \right ) = Av^{2} e^{ \frac{- m_{0}v^{2} }{2kT} } \left ( 3 - \frac{m_{0}v^{2} }{kT} \right ) = 0, \frac{m_{0}v^{2} }{kT} = 3, v = \sqrt{ \frac{3kT}{m_{0} } }, v_{в} = \sqrt{ \frac{3kT}{m_{0} } }$
2) Наиболее вероятное значение энергии $\epsilon_{в}$ найдем из условия $\frac{df( \epsilon) }{d \epsilon } = 0, f( \epsilon) = f(v) \frac{dv}{d \epsilon } = 0$.
$\epsilon = \frac{m_{0}v^{2} }{2}, v = \sqrt{ \frac{2 \epsilon}{m_{0} } }, \frac{2v}{ d \epsilon} = (2m_{0} \epsilon )^{-1/2}$,
$f( \epsilon) = A \left ( \frac{2 \epsilon}{m_{0} } \right )^{3/2} e^{ \frac{- \epsilon}{2kT} } (2m_{0} \epsilon )^{-1/2} = \frac{2A}{m_{0}^{2} } \epsilon e^{ - \frac{- \epsilon}{kT} }$,
$\frac{d}{d \epsilon} \left ( \frac{2A}{m_{0}^{2} } \epsilon e^{ - \frac{ \epsilon}{kT} } \right ) = \frac{2A}{m_{0}^{2} } \frac{d}{d \epsilon} \left ( \epsilon e^{ - \frac{ \epsilon}{kT} } \right ) = \frac{2A}{m_{0}^{2} } e^{ - \frac{ \epsilon}{kT} } \left ( 1 - \frac{ \epsilon}{kT} \right ) = 0$,
Закон распределения молекул газа по скоростям в некотором молекулярном пучке имеет вид $f(v) = A v^{3} e^{ - m_{0}v^{2}/(2kT)}$. Определите: 1) наиболее вероятную скорость $v_{в}$; 2) наиболее вероятное значение энергии $\epsilon_{в}$ молекул в этом пучке.
Решение:
1) Наиболее вероятная скорость $v_{в}$ найдем из условия $\frac{df(v) }{dv} = 0$
$\frac{d}{dv} \left ( Av^{3} e^{ - \frac{m_{0}v^{2} }{2kT} } \right ) = A \left ( 3v^{2}e^{ \frac{-m_{0}v^{2} }{2kT} } - \frac{m_{0} }{2kT} 2v v^{3} e^{ \frac{- m_{0}v^{2} }{2kT} } \right ) = Av^{2} e^{ \frac{- m_{0}v^{2} }{2kT} } \left ( 3 - \frac{m_{0}v^{2} }{kT} \right ) = 0, \frac{m_{0}v^{2} }{kT} = 3, v = \sqrt{ \frac{3kT}{m_{0} } }, v_{в} = \sqrt{ \frac{3kT}{m_{0} } }$
2) Наиболее вероятное значение энергии $\epsilon_{в}$ найдем из условия $\frac{df( \epsilon) }{d \epsilon } = 0, f( \epsilon) = f(v) \frac{dv}{d \epsilon } = 0$.
$\epsilon = \frac{m_{0}v^{2} }{2}, v = \sqrt{ \frac{2 \epsilon}{m_{0} } }, \frac{2v}{ d \epsilon} = (2m_{0} \epsilon )^{-1/2}$,
$f( \epsilon) = A \left ( \frac{2 \epsilon}{m_{0} } \right )^{3/2} e^{ \frac{- \epsilon}{2kT} } (2m_{0} \epsilon )^{-1/2} = \frac{2A}{m_{0}^{2} } \epsilon e^{ - \frac{- \epsilon}{kT} }$,
$\frac{d}{d \epsilon} \left ( \frac{2A}{m_{0}^{2} } \epsilon e^{ - \frac{ \epsilon}{kT} } \right ) = \frac{2A}{m_{0}^{2} } \frac{d}{d \epsilon} \left ( \epsilon e^{ - \frac{ \epsilon}{kT} } \right ) = \frac{2A}{m_{0}^{2} } e^{ - \frac{ \epsilon}{kT} } \left ( 1 - \frac{ \epsilon}{kT} \right ) = 0$,
