Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 914
2016-09-17 
Какой минимальный путь за время $t$ может пройти тело, движущееся с постоянным ускорением $\vec{a}$?
Решение:
Легко сообразить, что путь будет минимальным тогда, когда тело движется по прямой. Действительно, введём прямоугольную систему координат и направим ось $x$ вдоль вектора ускорения $\vec{a}$. Тогда проекции вектора скорости тела на координатные оси зависят от времени $\tau$ по следующим законам: $v_{x}( \tau) = v_{x0} + a \tau; v_{y}( \tau) = v_{y0}; v_{z}( \tau) = v_{z0}$. Здесь $v_{x0}, v_{y0}, v_{z0}$ — проекции скорости тела на соответствующие оси при $\tau = 0$. Если положить $v_{y0} = v_{z0} = 0$, то величина скорости тела в каждый момент времени $\tau$ будет меньше, чем она была бы при отличных от нуля $v_{y0}$ и $v_{z0}$. Поэтому будет меньше и пройденный путь. Значит, для решения задачи нужно рассматривать движение тела вдоль прямой, параллельной оси $x$.
При таком движении возможны три случая, отличающиеся по знакам скорости в течение времени движения $t$:
а) $v_{x}( \tau) > 0$ при $0 \leq \tau \leq t$;
б) $v_{x}( \tau) < 0$ при $0 \leq \tau \leq t$;
в) $v_{x}( \tau) < 0$ при $0 \leq \tau < t$ и $v_{x}( \tau) > 0$ при $t_{0} < \tau \leq t$;.
Отметим, что во всех случаях $a > 0$.
В случае (а) пройденный путь совпадает с перемещением и равен
$S_{a} = v_{x0}t + \frac{at^{2}}{2} \geq \frac{at^{2}}{2}$.
В случае (б) пройденный путь — это перемещение, взятое с обратным знаком. Он равен
$S_{б} = - \left ( v_{x0}t + \frac{at^{2}}{2} \right ) = - \left ( (v_{x0} + at)t - \frac{at^{2}}{2} \right ) = - \left ( v_{x}(t)t - \frac{at^{2}}{2} \right ) = |v_{x}(t)| \cdot t + \frac{at^{2}}{2} \geq \frac{at^{2}}{2}$.
Наконец, в случае (в) пройденный путь складывается из двух отрезков, пройденных телом до и после «точки поворота» (точки, в которой скорость тела обращается в ноль при $\tau = t_{0}$). Первый отрезок пути может быть найден из формулы, полученной при рассмотрении случая (б), при подстановке в неё $t = t_{0}: S_{B_{1}} = |v_{x}(t_{0})| \cdot t_{0} + \frac{at_{0}^{2}}{2} = \frac{at_{0}^{2}}{2}$ (здесь учтено, что $v_{x}(t_{0}) = 0$). Второй же отрезок равен $S_{B_{2}} = \frac{a(t-t_{0})^{2}}{2}$. Таким образом, пройденный путь в случае (в) равен
$S_{B} = S_{B_{1}} + S_{B_{2}} = \frac{at_{0}^{2}}{2} + \frac{a(t-t_{0})^{2}}{2} = a \left ( \left ( t_{0} - \frac{t}{2} \right )^{2} + \frac{t^{2}}{4} \right ) \geq \frac{at^{2}}{4}$.
Значит, минимальным является путь, который тело проходит в случае (в). Он равен $S = at^{2}/4$, причём «точка поворота» должна приходиться на середину промежутка времени движения $t$.
Какой минимальный путь за время $t$ может пройти тело, движущееся с постоянным ускорением $\vec{a}$?
Решение:
Легко сообразить, что путь будет минимальным тогда, когда тело движется по прямой. Действительно, введём прямоугольную систему координат и направим ось $x$ вдоль вектора ускорения $\vec{a}$. Тогда проекции вектора скорости тела на координатные оси зависят от времени $\tau$ по следующим законам: $v_{x}( \tau) = v_{x0} + a \tau; v_{y}( \tau) = v_{y0}; v_{z}( \tau) = v_{z0}$. Здесь $v_{x0}, v_{y0}, v_{z0}$ — проекции скорости тела на соответствующие оси при $\tau = 0$. Если положить $v_{y0} = v_{z0} = 0$, то величина скорости тела в каждый момент времени $\tau$ будет меньше, чем она была бы при отличных от нуля $v_{y0}$ и $v_{z0}$. Поэтому будет меньше и пройденный путь. Значит, для решения задачи нужно рассматривать движение тела вдоль прямой, параллельной оси $x$.
При таком движении возможны три случая, отличающиеся по знакам скорости в течение времени движения $t$:
а) $v_{x}( \tau) > 0$ при $0 \leq \tau \leq t$;
б) $v_{x}( \tau) < 0$ при $0 \leq \tau \leq t$;
в) $v_{x}( \tau) < 0$ при $0 \leq \tau < t$ и $v_{x}( \tau) > 0$ при $t_{0} < \tau \leq t$;.
Отметим, что во всех случаях $a > 0$.
В случае (а) пройденный путь совпадает с перемещением и равен
$S_{a} = v_{x0}t + \frac{at^{2}}{2} \geq \frac{at^{2}}{2}$.
В случае (б) пройденный путь — это перемещение, взятое с обратным знаком. Он равен
$S_{б} = - \left ( v_{x0}t + \frac{at^{2}}{2} \right ) = - \left ( (v_{x0} + at)t - \frac{at^{2}}{2} \right ) = - \left ( v_{x}(t)t - \frac{at^{2}}{2} \right ) = |v_{x}(t)| \cdot t + \frac{at^{2}}{2} \geq \frac{at^{2}}{2}$.
Наконец, в случае (в) пройденный путь складывается из двух отрезков, пройденных телом до и после «точки поворота» (точки, в которой скорость тела обращается в ноль при $\tau = t_{0}$). Первый отрезок пути может быть найден из формулы, полученной при рассмотрении случая (б), при подстановке в неё $t = t_{0}: S_{B_{1}} = |v_{x}(t_{0})| \cdot t_{0} + \frac{at_{0}^{2}}{2} = \frac{at_{0}^{2}}{2}$ (здесь учтено, что $v_{x}(t_{0}) = 0$). Второй же отрезок равен $S_{B_{2}} = \frac{a(t-t_{0})^{2}}{2}$. Таким образом, пройденный путь в случае (в) равен
$S_{B} = S_{B_{1}} + S_{B_{2}} = \frac{at_{0}^{2}}{2} + \frac{a(t-t_{0})^{2}}{2} = a \left ( \left ( t_{0} - \frac{t}{2} \right )^{2} + \frac{t^{2}}{4} \right ) \geq \frac{at^{2}}{4}$.
Значит, минимальным является путь, который тело проходит в случае (в). Он равен $S = at^{2}/4$, причём «точка поворота» должна приходиться на середину промежутка времени движения $t$.
