Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9137
2018-09-17 
Пользуясь преобразованиями Лоренца, выведите релятивистский закон сложения скоростей, если переход происходит от системы $K$ к системе $K^{ \prime}$.
Решение:
Преобразования Лоренца
$x^{ \prime} = \frac{x - vt}{ \sqrt{1 - \beta^{2} } }, y^{ \prime} = y, z^{ \prime} = z, t^{ \prime} = \frac{t - vx/c^{2} }{ \sqrt{1 - \beta^{2} } }$,
Скорости в проекциях в системе отсчета $K$
$u_{x} = \frac{dx}{dt}, u_{y} = \frac{dy}{dt}, u_{z} = \frac{dz}{dt}$,
Скорости в проекциях в системе отсчета $K^{ \prime}$
$u_{x}^{ \prime} = \frac{dx^{ \prime} }{dt^{ \prime} }, u_{y}^{ \prime} = \frac{dy^{ \prime} }{dt^{ \prime} }, u_{z}^{ \prime} = \frac{dz^{ \prime} }{dt^{ \prime} }$,
Дифференциалы
$dx^{ \prime} = \frac{dx - vdt }{ \sqrt{1 - \beta^{2} } }, dy^{ \prime} = dy$,
$dz^{ \prime} = dz, dt^{ \prime} = \frac{dt - vdx/c^{2} }{ \sqrt{1 - \beta^{2} } }$,
Окончательно
$u_{x}^{ \prime} = \frac{dx^{ \prime} }{dt^{ \prime} } = \frac{dx - vdt}{ \sqrt{1 - \beta^{2} } } \frac{ \sqrt{1 - \beta^{2} } }{dt - vdx / c^{2} } = \frac{dx - vdt}{dt - vdx /c^{2} }$, $\left [ : \frac{dt}{dt} \right ]$,
$u_{x}^{ \prime} = \frac{u_{x} - v }{1 - vu_{x} / c^{2} }, u_{y}^{ \prime} = \frac{dy^{ \prime} }{dt^{ \prime} } = \frac{dy \sqrt{1 - \beta^{2} } }{dt - vdx/c^{2} } = \frac{u_{y} \sqrt{ 1 - \beta^{2} } }{1 - vu_{x} / c^{2} }, u_{z}^{ \prime} = \frac{ u_{z} \sqrt{1 - \beta^{2} } }{1 - vu_{x} / c^{2} }$.
Пользуясь преобразованиями Лоренца, выведите релятивистский закон сложения скоростей, если переход происходит от системы $K$ к системе $K^{ \prime}$.
Решение:
Преобразования Лоренца
$x^{ \prime} = \frac{x - vt}{ \sqrt{1 - \beta^{2} } }, y^{ \prime} = y, z^{ \prime} = z, t^{ \prime} = \frac{t - vx/c^{2} }{ \sqrt{1 - \beta^{2} } }$,
Скорости в проекциях в системе отсчета $K$
$u_{x} = \frac{dx}{dt}, u_{y} = \frac{dy}{dt}, u_{z} = \frac{dz}{dt}$,
Скорости в проекциях в системе отсчета $K^{ \prime}$
$u_{x}^{ \prime} = \frac{dx^{ \prime} }{dt^{ \prime} }, u_{y}^{ \prime} = \frac{dy^{ \prime} }{dt^{ \prime} }, u_{z}^{ \prime} = \frac{dz^{ \prime} }{dt^{ \prime} }$,
Дифференциалы
$dx^{ \prime} = \frac{dx - vdt }{ \sqrt{1 - \beta^{2} } }, dy^{ \prime} = dy$,
$dz^{ \prime} = dz, dt^{ \prime} = \frac{dt - vdx/c^{2} }{ \sqrt{1 - \beta^{2} } }$,
Окончательно
$u_{x}^{ \prime} = \frac{dx^{ \prime} }{dt^{ \prime} } = \frac{dx - vdt}{ \sqrt{1 - \beta^{2} } } \frac{ \sqrt{1 - \beta^{2} } }{dt - vdx / c^{2} } = \frac{dx - vdt}{dt - vdx /c^{2} }$, $\left [ : \frac{dt}{dt} \right ]$,
$u_{x}^{ \prime} = \frac{u_{x} - v }{1 - vu_{x} / c^{2} }, u_{y}^{ \prime} = \frac{dy^{ \prime} }{dt^{ \prime} } = \frac{dy \sqrt{1 - \beta^{2} } }{dt - vdx/c^{2} } = \frac{u_{y} \sqrt{ 1 - \beta^{2} } }{1 - vu_{x} / c^{2} }, u_{z}^{ \prime} = \frac{ u_{z} \sqrt{1 - \beta^{2} } }{1 - vu_{x} / c^{2} }$.
