Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 9130
2018-09-17 
Тонкий однородный диск радиусом $R$ имеет массу $m$. Определите в точке А, расположенной на оси диска на расстоянии $h$ от него: 1) потенциал гравитационного поля; 2) напряженность гравитационного поля.
Решение:
$dm = \frac{m}{ \pi R^{2} } 2 \pi x dx = \frac{2mx dx}{R^{2} }$,
$d \phi = - G \frac{dm}{r}, r = \sqrt{h^{2} + x^{2} }, d \phi = - G \frac{2m}{R^{2} } \frac{xdd}{ \sqrt{h^{2} + x^{2} } }$,
$\phi = - G \frac{2m}{R^{2} } \int_{0}^{R} \frac{xdx}{ \sqrt{h^{2} + x^{2} } } = - G \frac{2m}{R^{2} } \left . \left ( \sqrt{h^{2} + x^{2} } \right ) \right |_{0}^{R} = - G \frac{2m}{R^{2} } \left ( \sqrt{h^{2} + R^{2} } - h \right )$,
$\vec{g} = - grad \phi = - \frac{d \phi}{dh} \vec{i} = - \frac{d}{dh} \left ( G \frac{2m}{R^{2} } ( \sqrt{h^{2} + R^{2} } - h ) \right ) \vec{i} = - \left ( G \frac{2m}{R^{2} } \left ( \frac{1}{2} (h^{2} + R^{2} )^{-1/2} 2h - 1 \right ) \right ) \vec{i} = G \frac{2m}{R^{2} } \left ( 1 - \frac{h}{ \sqrt{h^{2} + R^{2} } } \right ) \vec{i}$.
Тонкий однородный диск радиусом $R$ имеет массу $m$. Определите в точке А, расположенной на оси диска на расстоянии $h$ от него: 1) потенциал гравитационного поля; 2) напряженность гравитационного поля.
Решение:
$dm = \frac{m}{ \pi R^{2} } 2 \pi x dx = \frac{2mx dx}{R^{2} }$,
$d \phi = - G \frac{dm}{r}, r = \sqrt{h^{2} + x^{2} }, d \phi = - G \frac{2m}{R^{2} } \frac{xdd}{ \sqrt{h^{2} + x^{2} } }$,
$\phi = - G \frac{2m}{R^{2} } \int_{0}^{R} \frac{xdx}{ \sqrt{h^{2} + x^{2} } } = - G \frac{2m}{R^{2} } \left . \left ( \sqrt{h^{2} + x^{2} } \right ) \right |_{0}^{R} = - G \frac{2m}{R^{2} } \left ( \sqrt{h^{2} + R^{2} } - h \right )$,
$\vec{g} = - grad \phi = - \frac{d \phi}{dh} \vec{i} = - \frac{d}{dh} \left ( G \frac{2m}{R^{2} } ( \sqrt{h^{2} + R^{2} } - h ) \right ) \vec{i} = - \left ( G \frac{2m}{R^{2} } \left ( \frac{1}{2} (h^{2} + R^{2} )^{-1/2} 2h - 1 \right ) \right ) \vec{i} = G \frac{2m}{R^{2} } \left ( 1 - \frac{h}{ \sqrt{h^{2} + R^{2} } } \right ) \vec{i}$.
