2016-09-17
На одной стороне магнитофонной кассеты от начала до конца без перерывов записано $N = 45$ коротких песенок с продолжительностью звучания $\tau = 1 мин$. каждая. Время быстрой перемотки ленты от начала до конца с постоянной угловой скоростью вращения ведущей оси равно $T_{1} = 2 мин. 45 с$. На какую песню мы попадём, если перемотаем ленту с самого начала вперёд в течение $T_{2} = 1 мин. 50 с$? Для данной кассеты радиус оси с намотанной на неё всей лентой равен $R = 25 мм$, а без ленты $r = 10 мм$.
Решение:
Так как при быстрой перемотке ленты ведущая ось вращается с постоянной угловой скоростью, то радиус принимающей бобины $\tilde{r}$ возрастает со временем $t$ от $r$ до $R$ по линейному закону: $\tilde{r} = r + \frac{t}{T_{1}} (R-r)$. После перемотки в течение времени $T_{2}$ радиус бобины станет равным $r_{1} = r + (T_{2}/T_{1})(R — r)$.
При нормальном прослушивании кассеты лента движется с некоторой постоянной линейной скоростью $v$. Это означает, что за промежуток времени $\Delta t$ на бобину наматывается участок ленты длиной $v \Delta t$, а площадь бобины увеличивается на величину $\Delta S = hv \Delta t$, где $h$ — толщина ленты. Таким образом, площадь бобины возрастает с постоянной скоростью $\frac{ \Delta S}{ \Delta t} = hv$. Значит, зависимость площади бобины от времени прослушивания $t$ можно записать в виде $S = \pi r^{2} + hvt$.
После перемотки в течение времени $T_{2}$ радиус бобины станет равным $r_{1}$, а её площадь, соответственно, $\pi r_{1}^{2}$. При нормальном прослушивании кассеты бобина приобрела бы такую площадь через время $T_{3}$, которое можно определить из уравнения $\pi r_{1}^{2} = \pi r^{2} + hvT_{3}$.
С другой стороны, при нормальном прослушивании ленты от начала до конца бобина приобретает площадь $\pi R^{2}$ за время $N \tau$, то есть справедливо уравнение $\pi R^{2} = \pi r^{2} + hv N \tau$.
Отсюда, с учётом выражения для $r_{1}$, находим:
$T_{3} = \frac{r_{1}^{2} - r^{2}}{R^{2}-r^{2}} N \tau = \frac{ \left ( r + \frac{T_{2}}{T_{1}}(R-r) \right )^{2} - r^{2}}{R^{2}-r^{2}} N \tau = \frac{ \left ( 10 мм + \frac{110 с}{165 с} \cdot (25 мм - 10 мм) \right )^{2} - 10^{2} мм^{2}}{25^{2} мм^{2} - 10^{2} мм^{2}} \cdot 45 мин \approx 25,7 мин$.
Таким образом, в результате перемотки мы попадём на песню с номером $k = \left [ \frac{T_{3}}{ \tau} \right ] + 1 = 26$, то есть примерно на середину двадцать шестой песни.