ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-09-17   
Ракета, масса $M$ которой в начальный момент времени равна 300 кг и начинает выбрасывать продукты сгорания с относительной скоростью $u = 200 м/с$. Расход горючего $\mu = 100 г/с$. Пренебрегая сопротивленнием воздуха и внешним силовым полем, определите: 1) за какой промежуток времени скорость ракеты станет равной $v_{1} = 50 м/с$; 2) скорость $v_{2}$, которой достигнет ракета, если масса заряда $m_{0} = 0,2 кг$.


Решение:


$ma = F_{p}, m = M - \mu t$,

Следовательно реактивная сила

$F_{p} = \mu u$,

$a = \frac{dv}{dt}$,

Подстановка дает

$(M - \mu t) \frac{dv}{dt} = \mu u$,

Интегрирование дает уравнение скорости

$v(t) = \mu u \int_{0}^{t} \frac{dt}{M - \mu t} = u ln \frac{M}{M - \mu t}$, (1)

Скорость $v_{1}$ в момент времени $t_{1}$

$v_{1} = u ln \frac{M}{M - \mu t}, ln \frac{M}{M - \mu t_{1} } = \frac{v_{1} }{u}, \frac{M}{M - \mu t_{1} } = e^{v_{1} /u }$,
$t_{1} = \frac{M}{ \mu} (1 - e^{- v_{1}/u } )$,

Еще раз используем уравнение (1) найдем $v_{2}$

$v_{2} = u ln \frac{M}{M - m_{0} }$.