ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-09-17   
Частица массой $m$ движется под действием силы $\vec{F} = \vec{F}_{0} \cos \omega t$ где $\vec{F}_{0}$ и $\omega$ — некоторые постоянные. Определите положение частицы, т. е. выразите ее радиус-вектор $\vec{r}$ как функцию времени, если в начальный момент времени $t = 0, \vec{r}(0) = 0$ и $\vec{v}(0) = 0$.


Решение:


По условию
$\vec{F} = \vec{F}_{0} \cos \omega t$,

Из второго закона Ньютона

$\vec{F} = m \vec{a} = m \vec{d \vec{v} }{dt}$,
$m \frac{d \vec{v} }{dt} = \vec{F}_{0} \cos \omega t$,
$d \vec{v} = \frac{ \vec{F}_{0} }{m} \cos \omega t dt$,

Проинтегрируем

$\vec{v}(t) - \vec{v}(0) = \frac{ \vec{F}_{0} }{m} \int_{0}^{t} \cos \omega t dt = \frac{ \vec{F}_{0} }{ m \omega} \left . \sin \omega t \right |_{0}^{t} = \frac{ \vec{F}_{0} }{m \omega} \sin \omega t$,
$v(0) = 0, \vec{v} (t) = \frac{ \vec{F}_{0} }{m \omega } \sin \omega t dt$,

Так как радиус-вектор

$d \vec{r} = \vec{v}(t) dt$,

Проинтегрируем

$\vec{r}(t) - \vec{r}(0) = \frac{ \vec{F}_{0} }{m \omega} \int_{0}^{t} \sin \omega t dt = - \frac{ \vec{F}_{0} }{m \omega^{2} } \left . \cos \omega t \right |_{0}^{t} = - \frac{ \vec{F}_{0} }{m \omega^{2} } ( \cos \omega t - 1) = \frac{ \vec{F}_{0} }{m \omega^{2} } (1 - \cos \omega t)$,
$\vec{r}(0) = 0, \vec{r}(t) = \frac{ \vec{F}_{0} }{m \omega^{2} } (1 - \cos \omega t )$.