Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 912
2016-09-17 
Ромб составлен из жёстких стержней длиной $L$. Стержни скреплены на концах шарнирами. В начальный момент два противоположных шарнира находятся рядом (очень близко) и имеют нулевые скорости. Один из этих шарниров закреплён. Второй начинают двигать с постоянным ускорением $a$. Найдите величину ускорения остальных шарниров ромба в тот момент, когда ромб превратится в квадрат, если все стержни двигаются, оставаясь в одной плоскости.
Решение:
Для удобства рассмотрения пронумеруем вершины ромба так, как показано на рисунке. Поскольку характер движения вершин 2 и 4 одинаков, будем рассматривать только вершину 2.
В момент времени, когда ромб превратится в квадрат, двигающаяся с ускорением а вершина 3 будет иметь скорость $v$. К этому моменту времени вершина 2 сместится в направлении движения вершины 3 на вдвое меньшее расстояние, чем прошла вершина 3. Значит, проекции скорости и ускорения вершины 2 на направление движения вершины 3 будут равны $v/2$ и $a/2$ соответственно. К рассматриваемому моменту времени вершина 3 пройдёт путь $S = L \sqrt{2}$. Поэтому $v = \sqrt{2aS} = \sqrt{2aL \sqrt{2}} = 2^{3/4} \sqrt{aL}$.
Так как стержни жёсткие, то вершина 2 всё время движется по окружности радиусом $L$ с центром в вершине 1. Поэтому скорость $u$ вершины 2 направлена по касательной к этой окружности, то есть в рассматриваемый момент времени направлена вдоль стержня, соединяющего вершины 2 и 3. Следовательно, можно записать
$u = \frac{v/2}{ \cos ( \pi /4)} = \frac{v}{ \sqrt{2}} = 2^{1/4} \sqrt{aL}$
Проекция ускорения вершины 2 на направление стержня, соединяющего её с вершиной 1, есть центростремительное ускорение, равное
$u^{2}/L = a \sqrt{2}$.
Мы нашли проекции ускорения вершины 2 на два различных направления. Полное ускорение можно найти, нарисовав соответствующим образом направленные векторы компонент ускорения, имеющие длины $a/2$ и $a \sqrt{2}$, и восставив перпендикуляры к ним. Точка пересечения этих перпендикуляров позволит определить направление и величину вектора ускорения вершины 2. Чертёж удобно построить следующим образом. Выберем масштаб так, чтобы вектор $a/2$ на чертеже имел длину, равную четверти диагонали нашего квадрата. Тогда вектор $a \sqrt{2}$ будет иметь длину, равную стороне квадрата. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора получаем:
$\omega = \sqrt{ (a \sqrt{2})^{2} + \left ( a \sqrt{2} + \frac{a}{ \sqrt{2}} \right )^{2} } = a \sqrt{ \frac{13}{2}}$
Ромб составлен из жёстких стержней длиной $L$. Стержни скреплены на концах шарнирами. В начальный момент два противоположных шарнира находятся рядом (очень близко) и имеют нулевые скорости. Один из этих шарниров закреплён. Второй начинают двигать с постоянным ускорением $a$. Найдите величину ускорения остальных шарниров ромба в тот момент, когда ромб превратится в квадрат, если все стержни двигаются, оставаясь в одной плоскости.
Решение:
Для удобства рассмотрения пронумеруем вершины ромба так, как показано на рисунке. Поскольку характер движения вершин 2 и 4 одинаков, будем рассматривать только вершину 2.
В момент времени, когда ромб превратится в квадрат, двигающаяся с ускорением а вершина 3 будет иметь скорость $v$. К этому моменту времени вершина 2 сместится в направлении движения вершины 3 на вдвое меньшее расстояние, чем прошла вершина 3. Значит, проекции скорости и ускорения вершины 2 на направление движения вершины 3 будут равны $v/2$ и $a/2$ соответственно. К рассматриваемому моменту времени вершина 3 пройдёт путь $S = L \sqrt{2}$. Поэтому $v = \sqrt{2aS} = \sqrt{2aL \sqrt{2}} = 2^{3/4} \sqrt{aL}$.
Так как стержни жёсткие, то вершина 2 всё время движется по окружности радиусом $L$ с центром в вершине 1. Поэтому скорость $u$ вершины 2 направлена по касательной к этой окружности, то есть в рассматриваемый момент времени направлена вдоль стержня, соединяющего вершины 2 и 3. Следовательно, можно записать
$u = \frac{v/2}{ \cos ( \pi /4)} = \frac{v}{ \sqrt{2}} = 2^{1/4} \sqrt{aL}$
Проекция ускорения вершины 2 на направление стержня, соединяющего её с вершиной 1, есть центростремительное ускорение, равное
$u^{2}/L = a \sqrt{2}$.
Мы нашли проекции ускорения вершины 2 на два различных направления. Полное ускорение можно найти, нарисовав соответствующим образом направленные векторы компонент ускорения, имеющие длины $a/2$ и $a \sqrt{2}$, и восставив перпендикуляры к ним. Точка пересечения этих перпендикуляров позволит определить направление и величину вектора ускорения вершины 2. Чертёж удобно построить следующим образом. Выберем масштаб так, чтобы вектор $a/2$ на чертеже имел длину, равную четверти диагонали нашего квадрата. Тогда вектор $a \sqrt{2}$ будет иметь длину, равную стороне квадрата. Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора получаем:
$\omega = \sqrt{ (a \sqrt{2})^{2} + \left ( a \sqrt{2} + \frac{a}{ \sqrt{2}} \right )^{2} } = a \sqrt{ \frac{13}{2}}$
