ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2018-09-17   
Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом $r = 4 м$, задается уравнением $a_{n} = A + Bt + Ct^{2}$ ($A = 1 м/с^{2}, B = 6 м/с^{3}, C = 9 м/с^{4}$). Определите: 1) тангенциальное ускорение точки; 2) путь, пройденный точкой за время $t_{1} = 5 с$ после начала движения; 3) полное ускорение для момента времени $t_{2} = 1 с$.


Решение:


Знаем

$a_{n} = \frac{ v^{2} }{r}$,

По условию

$a_{n} = A + Bt + Ct^{2}$,

Преобразуем

$v = \sqrt{r(A + Bt + Ct^{2} ) } = \sqrt{4(1 + 6t + 9t^{2} ) }= 2(1 + 3t) = 2 + 6t$,

Тангециальное ускорение

$a_{ \tau} = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} (2 + 6t)$,

Путь пройденный точкой найдем интегрированием

$s_{1} = \int_{0}^{t_{1} } vdt = \int_{0}^{t_[1] } (2 + 6t) dt = 2t_{1} + 3t_{1}^{2}$,

Ускорение в момент времени $t_{2}$

$a_{ \tau 2} = a_{ \tau}, a_{n2} = \frac{v_{2}^{2} }{r} = \frac{(2 + 6t_{2} )^{2} }{r}$,
$a_{2} = \sqrt{a_{r2}^{2} + a_{n2}^{2} } = \sqrt{ a_{r2}^{2} + \frac{(2 + 6t_{2} )^{4} }{r^{2} } }$.